0 s 0 0

s t s 0 s 0 F ( s ) ( t ) e d t ( t ) ed t e ( t ) d t e 1 0 0
t)R 1 ( t) (2)例2 求阶跃函数 f ( 的拉氏变换。
R R s t Fs ( ) R e d t e s 0 s 0
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。 展开的常用方法有：
留数法
numernation
m m 1 s b s b sb N ( s )b 0 1 m 1 m F ( s ) n n ( m n ) 1 D ( s )a s a s a sa 0 1 n 1 n
本节课的学习思路：从多个方 位来观察我们将要研究的对象—传 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章)做准备。
本节内容
拉式变换 拉式反变换 传递函数的概念和表达形式
系统传递函数的建立
典型环节的传递函数
2-2 传递函数
一 拉氏变换
1.定义：设函数 f(t)当 t 0 时有定义，设
t 0 s
(6)时间比例尺(相似)定理
t L [ f ( )] aF(as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟 ，则其象函数应乘以 e 。 s

L [ f ( t )] eF ( s )

b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 。即
s t
(t) 的拉氏变换为 单位阶跃函数 f (t) 1
1 s
。
3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
(t)
1(t)
F(s)
f(t)
1
1 s
sin t
s2
s s2

F(s)
2
cos t
2
2
t
1 s
1 s a
e sint
at
( s a)2 2
1 例2：求 F(s) 2 的拉氏反变换。 s (s 1 ) 1 1 1 1 解： F () s 2 2 s( s 1 ) s s s 1
1 t ft ( ) L [( F s ) ] t 1 e
比较系数法
1 例 3 求 F () s 的 拉 氏 反 变 换 。 2 s ( s 1 ) a b c 解 ： F ( s ) 2 s s 1 ( s 1 )
配方法
比较系数法
留数法
配方法
例1：求
F(s) 1 (s a)(s b)
的拉氏反变换。
1 1 1 1 F ( s ) ( ) 解： ( s a ) ( s b ) ba s as b
a t b t e e 1 则 f() t L [ F () s] b a
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
教学目的
内容
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。 教 学 难 点 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及注 注重微分方程同传递函数的对比。 意事项
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思
2 则 a ( s 1 ) b s ( s 1 ) c s1
对 应 项 系 数 相 等 得 ab 1 , 1 , c 1
1 1 1 Fs ( ) 2 s s 1 ( s 1 )
1 t t ft ( ) L [( F s ) ]1 et e
L [ e f ( t )] F ( s a )
at
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 1 氏反变换。记为 L [F(s)]。由F(s)可按下式求出
j 1C st f ( t ) L [ F ( s )] ( s ) e ds ( t 0 ) F C j 2 j 1
(3)微分性质
n n n 1 n 2 n 1
L [ f ( t ) ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f ( 0 ) f ( 0 )
(4)终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
(5)初值定理
lim f( t ) lim sF ( s )
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？
如何求解得到的微分方程式？
对于高阶线性微分方程如何求解？
使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表 ) ，容易求出系统对 输入的响应。 引入传递函数的概念 (复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内 ( 根轨迹法 ) 和频域内 ( 频率法 ) 分析和设计系统成为可能。
s t Fs ( ) L f t f () t e d t
原函 数
且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
1 f t L () Fs
0
象函数
2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
e
at
e cost
at
sa ( s a)2 2
4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L [ af ( t ) bf ( t )] aL [ f ( t )] bL [ f ( t )] 1 2 1 2
(2)积分性质
1 1 1 L [ td t ] F () s f ( 0 ) f() s s