G(s) 1 S
特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消
失，输出具有记忆功能。
实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计 算机中的积分器等。
5 振荡环节
G(s)
n 2
1
S 2 2n S n2 T 2S 2 2TS 1
式中 ξ－阻尼比
(0 1)
T 1
n
n-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
X c (s)
B1s 机K械1 系统传递函数
X r (s) (B1 B2 )s K1 K2
(R1
R2
•
)U
c
(1 C1
1 C2
)U
c
•
R1 U r
1 C1
U
r
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3
(R1
R2 )SUc (s)
(1 C1
1 C2
)U c (s)
R1SU r (s)
1 C1
于是，由定义得系统传递函数为：
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2
G(s)
C(s) R(s)
b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
M (s) N (s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm N (s) sn a1sn1 an1s an
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模 态所占比重越大
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小
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7
2.2.3典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。 典型环节通常分为以下六种：
1 比例环节
G(s) K
式中 K-增益
c(t)
an1
d dt
c(t)
anc(t )
b0
dm dtm
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是 与系统结构和参数有关的常系数。
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方 程为： [sn a1sn1 an1s an]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s am]R(s)
i 1
(i 1,2,,m) Z i为传递函数的零点
N (s)
n
(S Pj ) ( j 1,2,,n) Pj 为传递函数的极点
j 1
极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系
统自由运动的模态。
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6
-1.33
-0.5
-2
z2 -1
z1
图2-7 传递函S
1 C1
U r (s)
(R1R2 )S
(1 C1
1 C2
)
电系统的传递函数
2.2.2 传递函数性质
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所 具有复变量函数的所有性质。
性质2
G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R(s)
G(s)
C(s)
图2-6
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4
性质3
G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
性质4 性质5
如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。
如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
传递函数数学模型是（表示）输出变量和输入变量微 分方程的运算模型
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s)
C (s) R(s)
如果将 S d dt
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置换 传递函数 微分方程 5
性质 传递函数的极点和零点对输出的影响
7
m
G(s)
M (s)
K*
(S Zi )
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其 输出出现振荡。
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
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2.2.4典型元部件的传递函数
电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。
图2-8 电位器
单个电位器用作为信号变换装置。
3 微分环节
理想微分 G(s) KS
一阶微分 G(s) S 1 二阶微分 G(s) 2S 2 2 S 1
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。
实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数
即为微分环节。 5/18/2020 5:55:56 PM
9
4 积分环节
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式 变送器等。
2 惯性环节
1
G(s)
TS 1
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式中 T-时间常数
特点：含一个储能元件，对突变的输入, 其输出不能立即复现，输出无振荡。
实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的 传递函数也包含这一环节。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换零初始条件
C(s) R(s)
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1
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn dtn
c(t)
a1
d n1 dt n1
例
求例2-4机械系统与电路系统的传递函数Xc(s和) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K2 ) X c B1 X c K1X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
2.2 控制系统的复域数学模型 2.2.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。