三角形的形状的判定浙江奉化江口中学（315504）毛显勇在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。
这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。
1、复习三角形中有关知识：1.1角的关系：A+B+C=ππ=⇒C -(A+B)、 222B A C +-=π 或A+B=π-C 、222C B A -=+π 1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。
正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=。
三角形面积：S=21C ab sin =21A bc sin =21B ca sin 1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。
按边分：等腰Δ，等边Δ。
其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。
2、三角形形状的判定：在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。
2.1若 a=b 或cosA=cosB 、tanA=tanB 、sinA=sinB ⇒ A=B 则三角形是等腰三角形；2.2若222c b a =+ 则C 是直角，三角形是直角三角形；22b a +<2c 则C 是钝角，三角形是钝角三角形；222c b a >+ 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。
2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形；cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC<0, 则A 、B 、C 中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。
2.4若a •b =0⇔a ⊥b ，则三角形是直角三角形。
3、举例应用：例1 已知α是一个三角形的内角，且sin α+cos α=32，则这个三角形的形状是（ ） A 、 锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定解：∵ 00<α<1800，且sin α+cos α=32<1，∴ 900<α<1800（当00<α<900时，有三角函数线，得sin α+cos α>1；当α=900时，sin α+cos α=1）。
故选B 。
说明：本题直接利用三角函数线及三角形中任两边之和大于第三边，缩小角的取值范围，从而快速得解。
例2 在ΔABC 中，内角A 和B 满足cosAcosB=sinAsinB ，则ΔABC 的形状是 。
解： cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0 又 A+B ∈（0，π）∴ A+B=2π。
故ΔABC 是直角三角形。
变式1：若条件为cosAcosB>sinAsinB ，则ΔABC 的形状是钝角三角形。
变式2：若条件为cosAcosB<sinAsinB ，则ΔABC 的形状不能确定。
说明：本题倒用两角和与差的公式，再根据角的取值范围先确定角A+B 的范围，从而确定角C 的范围，就得解。
例3 在ΔABC 中，已知cos 2A+cos 2B+cos 2C=2，试判定其形状。
解：在ΔABC 中，cos 2A+cos 2B+cos 2C=22cos 1A ++22cos 1B ++cos 2(A+B) =1+21(cos2A+cos2B)+cos 2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos 2(A+B) =1+cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]=1+cos(A+B)2cosAcosB=1-2cosAcosBcosC=2⇒cosAcosBcosC=-21<0⇒cosA 、cosB 、cosC 中必有一个小于零 ⇒A 、B 、C 中必有一个角是钝角⇒ΔABC 是钝角三角形。
推广：由cos 2A+cos 2B+cos 2C=1-2cosAcosBcosC得cos 2A+cos 2B+cos 2C<1⇒cosAcosBcosC>0，则ΔABC 是锐角三角形。
cos 2A+cos 2B+cos 2C=1⇒cosAcosBcosC=0，则ΔABC 是直角三角形。
cos 2A+cos 2B+cos 2C>1⇒cosAcosBcosC<0，则ΔABC 是钝角三角形。
说明：在三角形中不能忘记A+B+C=π。
本题用降幂公式、和差化积等公式把已知化简为余弦的连乘积，确定角的范围，故得解。
例4 在ΔABC 中，已知 BA B A C cos cos sin sin sin ++=，试判定ΔABC 的形状。
解：在ΔABC 中，C=π-(A+B) ∴sinC=sin(A+B)∴sin(A+B)=B A B A cos cos sin sin ++=++2cos 2sin 2B A B A 2cos 2cos 22cos 2sin2B A B A B A B A -+-+ 又 在ΔABC 中，02≠+B A ∴0)cos(012cos 22=+⇒=-+B A B A 2π=+⇒B A ∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。
说明：本题利用倍角、和差化积等公式，把已知式子化简，并化为同一类角，从而来确定三角形的形状，这是解这类题的常用解法，要熟练掌握。
另解： cosA+cosB=C B A sin sin sin + ∴bc a c b 2222-++acb c a 2222-+=c b a + 即ac 2-a 3+bc 2-b 3-a 2b-ab 2=0⇒(a+b)(c 2-a 2-b 2)=0 a+b ≠0⇒c 2=a 2+b 2∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。
说明：本解法是应用正弦、余弦定理把“角”全换成“边”，通过边的关系来判定三角形的形状，且这里的正弦、余弦定理都是变形应用。
例5 以长度分别为4，5，6的线段为三角形的三边，则（ ）A 、所构成的三角形是一个锐角三角形B 、所构成的三角形是一个直角三角形C 、所构成的三角形是一个钝角三角形D 、不能构成三角形解： 42+52>62∴能构成三角形，且是锐角三角形。
故选A 。
说明：本题是余弦定理的又一变形应用，用来判断类似题既快速又准确。
例6 在ΔABC 中，b=asinC 且c=asin(900-B)，判定ΔABC 的形状。
解：∵ c=asin(900-B)=acosB=c b c a ac b c a a 22222222-+=-+ 22222c b c a =-+⇒是直角A b c a ⇒+=⇒222； 又∵ 1sin sin sin =⇒=A A C c A a 是直角 C a c C c a sin sin =⇒=⇒ 由条件C a b sin =c b =⇒∴综上得ΔABC 是等腰直角三角形。
说明：条件中有边、角关系，应利用正、余弦定理，把条件统一为边或者是角的关系，从而判定三角形的形状。
这是判断三角形形状的常用解题思路。
例7 如图ΔABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，则下列推导中，是假命题．．．的为（ ） A 、若a •b >0，则ΔABC 是钝角三角形B、若a•b=0，则ΔABC是直角三角形 AC、若a•b=b•c，则ΔABC是等腰三角形a bD、若c•（a+b+c）=0，则ΔABC是等边三角形 B c C解：∵a+b+c=BC+CA+AB=0对任意三角形都成立，而c•0=0恒成立∴选项D中的命题是假命题，故选D。
说明：本题是一道易错题，很可能会错选A。
要注意的是向量a、b的夹角不是内角A，而应是1800-A（求向量的夹角的前提是它们有共同的起点）；另选项C也正确，可通过向量a、c在b上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。
本题主要根据向量的数量积的定义来解，要注意概念的准确运用。
4、总结1）观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等，从而找到简便的解法。
2）判定三角形的形状，除单纯角的关系或边的关系外，对含有边角的关系，一定要把条件统一转化成边的关系或角的关系来判断。
在转化过程，除了直接应用边角关系的正余弦定理外，还充分用到和、差、倍、半角的三角函数或三角函数的和差化积、积化和差公式去改变角和三角函数的形状，并还利用向量的数量积等有关知识来解题。
5、练习：1）在ΔABC中，如果sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形2）在ΔABC中，如果sinC=cosA+cosB，那么这个三角形是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、等腰直角三角形3）ΔABC中，已知|AB|=|AC|=4，且AB•AC=8，则ΔABC的形状是。
4）在ΔABC中,已知acosA=bcosB，试判定ΔABC的形状。
答案：1）C 2）D 3）等边三角形 4）直角三角形或等腰三角形。