2011年阅读理解试题汇编： （2011年昌平区一模） 22． 现场学习题问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．AB C图3图2图1(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．________ 思维拓展：(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC、(0)a >，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的△ABC ，并求出它的面积是： ．探索创新：(3)若△ABC、(0,,)m n o m n >>≠ ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC 的面积为：答案：（1） 25．（2）面积：23a ．（3）面积：3mn ．（通州区一模） 22．问题背景图2AB CA CB 4m 2m 2mn n 2n图3（1）如图22（1），△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ，△ADE 的面积2S = ． 探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图22（2），□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．答案：(1)四边形DBFE 的面积S =632=⨯，△EFC 的面积1S =93621=⨯⨯，△ADE 的面积2S =1． (2)根据题意可知：ah S =，bh S 211=，DE ∥BC ，EF ∥AB∴四边形DEFB 是平行四边形，EFC ADE ∠=∠,C AED ∠=∠∴DE=a ; ADE ∆∽EFC ∆, ∴122S S b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∴b h a S b a S 221222== ∴222212244h a bha bh S S =⨯⨯= ∴2124S S S =(3) 过点G 作GH//AB∴由题意可知：四边形DGFE 和四边形DGHB 都是平行四边形 ∴DG=BH=EF ∴BE=HFGHF DBE S S ∆∆=8=∆GHC S64824S 4S GHC ADG DGHB 2=⨯⨯=⋅=∆∆四边形S∴8DGHB=四边形S∴18882S ABC =++=∆（2011年房山区一模） 22．（本小题满分5分）小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．他先进行了如下部分操作，如图1所示：B C D G F E AB C D FEA S 1S 2 S36 2 CDFE22（1）A 1SS 2S3 62H GFEDCBA①取△ABC 的边AB 、AC 的中点D 、E ，联结DE ； ②过点A 作AF ⊥DE 于点F ；（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC 拼接成面积与它相等的矩形．（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的 答案：解：（1）（22：1 （3）画对一种情况的一个图给1分或（2011年海淀一模）22．如图1，已知等边△ABC 的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF 的周长为p .（1）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_______；（2）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 .N M ②①②①F E D C B A小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥. 老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.答案 解：（1）32p =; .…………………………….……………………………2分 （2）332p <≤..…………………………….……………………………5分（2011年顺义一模）22． 如图，将正方形沿图中虚线（其x y <）剪成① ② ③ ④ 四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图； （2）求xy的值．答案．（1）如图（2）面积可得 2()(2)x y x y y +=+ ----------------------3分 22222x xy y xy y ++=+ 220x xy y +-= 2()10x x yy +-= 512x y --= (舍去) 512x y -= （2011年朝阳区一模）22．阅读并操作：如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).A B DFC E1图AB DFCE 1F 1A 1B 2D 1D 1E 2图yy xy x y x x④③②①④③②①ABCABC图① 图② 图③请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中. （1）新图形为平行四边形； （2）新图形为等腰梯形.答案： 解：（1） （2）（2011年丰台一模）22．认真阅读下列问题，并加以解决：问题1：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC 补成一个矩形．要求：使△ABC 的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；FEDA BC图1 图2问题2：如图2，△ABC 是锐角三角形，且满足BC ＞AC ＞AB ，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；问题3：如果△ABC 是钝角三角形，且三边仍然满足BC ＞AC ＞AB ，现将它补成矩形．要求：△ABC 有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）．答案．解：（1）………………… 正确画出一个图形给1分，共2’（2）符合要求的矩形最多可以画出 3 个，它们面积之间的数量关系是 相等 ；………4’ (3) 不相等 ． …………………………………………………………………………………5’（燕山区一模）22．将正方形ABCD （如图1）作如下划分：第1次划分：分别联结正方形ABCD 对边的中点（如图2），得线段HF 和EG ，它们交于点M ，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH 按上述方法再作划分，得图3，则图3中共有_______个正方形； 若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______个正方形；继续划分下去，能否将正方形ABCD 划分成有2011个正方形的图形？需说明理由.答案：第2次划分，共有9个正方形； 第100次划分后，共有401个正方形；依题意，第n 次划分后，图中共有4n+1个正方形，而方程4n+1=2011没有整数解， 所以，不能得到2011个正方形. （2011年西城一模）22.我们约定，若一个三角形(记为1A ∆)是由另一个三角形(记为A ∆)通过一次平移，或绕其任一边中点旋转︒180得到的，称1A ∆是由A ∆复制的。

以下操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去。

如图1，由A ∆复制出1A ∆，又由1A ∆复制出2A ∆，再由2A ∆复制出3A ∆，形成了一个大三角形，记作B ∆。

以下各题中的复制均是A ∆开始的，通过复制形成的多边形中的任意两个小三角形(指与A ∆全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠。

(1)图1中标出的是一种可能的复制结果，小方发现B A ∆∆∽，则其相似比为_________.在图1的基础上继续复制下去得到C ∆，若C ∆的一条边上恰有11个小三角(指有一条边在该边上的小三角形)，则C ∆含有_________个小三角形；(2)若A ∆是正三角形，你认为通过复制的正多边形是_______________.A D A H D A H DE M G E M GB C B F C B F C 图1 图2 图3(3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出示意图，并依照图1作出标记。

答案：（1）1：2 121个（2）正三角形或正六边形（3）如图5图5（2011年密云县一模）22．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（2-）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移b个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为}+a+bc=，．，+，bd}{}{{dca 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，-2}；（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形.（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，5），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．答案：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．（2）①画图 最后的位置仍是B ．②由①知，A （3，1），B(4，3)，C （1，2）∴OC=AB =2221+=5，OA=BC =2213+=10， ∴四边形OABC 是平行四边形．（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．2010年阅读理解试题汇编： （2010昌平一模） 22．阅读下列材料:将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形．．．，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠） 请你参考以上做法解决以下问题：（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形．．．； （2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形．．．，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明.yO图2Q （5, 5） P （2, 3）yO 图1 11 x x4653126877584321图2图1DB AC G QP F E D C B A答案：22．（本小题满分5分） 解：如图所示：（1）图4分割正确． ··········································································· 1分 （2）图5分割正确， ··········································································· 3分 图5拼接正确． ··········································································· 5分785612346781234857786图4图521356图34图2图154213（2010年顺义一模）22．已知正方形纸片ABCD 的边长为2．操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与C 、D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ． 探究：（1）观察操作结果，找到一个与EDP △相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P 位于CD 中点时，你找到的三角形与EDP △周长的比是多少（图2为备用图）？答案22．解：（1）与EDP △相似的三角形是PCG △． ……………………………… 1分PEFQGD BAC证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°．由折叠知 ∠EPQ=∠A=90°． ∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°． ∴∠2=∠3．∴PCG △∽EDP △． ……… 2分（2）设ED=x ，则AE=2x -，由折叠可知：EP=AE=2x -． ∵点P 是CD 中点， ∴DP=1． ∵∠D=90°，∴222ED DP EP +=， 即2221(2)x x +=- 解得 34x =． ∴34ED =． ………………………………………………………… 3分 ∵PCG △∽EDP △， ∴14334PC ED ==． ∴PCG △与EDP △周长的比为4∶3． ………………………… 4分（2010年宣武一模）23．已知：MAN ∠，AC 平分MAN ∠．⑴在图1中，若MAN ∠＝120°，ABC ∠＝ADC ∠＝90°，AB ＋AD AC ．（填写“＞”，“＜”，“＝”） ⑵在图2中，若MAN ∠＝120°，ABC ∠＋ADC ∠＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ⑶在图3中：①若MAN ∠＝60°，ABC ∠＋ADC ∠＝180°，判断AB ＋AD 与AC 的数量关系，并说明理由； ②若MAN ∠＝α（0°＜α＜180°），ABC ∠＋ADC ∠＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）N M C D BA M N DB A CNMA B DC答案：23.解：(1) AB ＋AD = AC ．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．证明：如图2过C 作CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F ， 则∠CEA=∠CFA=90°． ∵ AC 平分∠MAN ，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．又∵ AC=AC ， ∴ △AEC ≌△AFC ，∴ AE=AF ，CE=CF ．∵ 在Rt △CEA 中，∠EAC=60°，∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE ． ∴ AE+AF=2AE=AC ． ∴ ED+DA+AF=AC ． ∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF ．又∵ CE=CF ，∠CED=∠CFB ， ∴ △CED ≌△CFB ．∴ ED=FB ， ∴ FB+DA+AF=AC ．∴ AB+AD=AC ．------------ 4分 (3)①AB+AD=3AC ．证明：如图3，方法同(2)可证△AGC ≌△AHC ． ∴AG=AH ． ∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=23AC ．∴AG+AH=3AC ． ∴GD+DA+AH=3AC ． 方法同(2)可证△GDC ≌△HBC ．∴GD=HB ， ∴ HB+DA+AH=3AC ．∴AD+AB=3AC ．--------------------------------------6分 ②AB ＋AD ＝2cos2α·AC ．-（2010年石景山一模）22．（1）如图1，把边长是3的等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到图2，再把图2中图形各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个新图形，则这个新图形的周长是 ；（2）如图3，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图4，请把图4中的图形剪拼成正方形，并在图4中画出剪裁线，在图5中画出剪拼后的正方形．图1 图2 图3 图4 图5NM A CDEM NAD CB HG图3图2答案22．（1）16 …………………………………………1分（2）各2分（2010年朝阳一模）23．（本小题满分7分）请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接P P′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．答案23．（本小题7分） 解：（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A ，则△BPC ≌△BP′A ．∴AP′=PC=1，BP=BP′=2． 连结P P′，在Rt △BP′P 中，∵ BP=BP′=2，∠P BP′=90°，∴ P P′=2，∠BP′P=45°． ………………………………2分 在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，AP=5， ∵ 22212(5)+=，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP 2．∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°． ∴ ∠AP′B=135°．∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． ………………………………………………… 4分 （2）过点B 作BE ⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E ． ∴ ∠E P′ B=45°. ∴ E P′=B E=1. ∴ AE=2.∴ 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB=5． ……………………………………… 7分 ∴ ∠BPC=135°，正方形边长为5．（2010丰台一模）22．在图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形F AE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上． 操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△F AG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ． 思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△F AG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．（2010年海淀一模—）22．阅读：如图1，在ABC∆和DEF ∆中，90ABC DEF ∠=∠=︒,,AB DE a ==BC EF b == ()b a <,B 、C 、D 、E 四点都在直线m 上，点B 与点D 重合.连接AE 、FC ，我们可以借助于ACE S ∆和FCE S ∆的大小关系证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.证明过程如下:∵,,.BC b BE a EC b a ===- ∴11(),22ACES EC AB b a a ∆=⋅=- 11().22FCES EC FE b a b ∆=⋅=- ∵0b a >>, ∴FCE S ACE S ∆∆>. 即a ab b a b )(21)(21->-. 图2图3 E 图 4图2 2b ＝a a ＜2b ＜2a b ＝a 图1 2b ＜a 图5 b ＞a∴22b ab ab a ->-. ∴222a b ab +>. 解决下列问题：（1）现将△DEF 沿直线m 向右平移，设()BD k b a =-,且01k ≤≤.如图2,当BD EC =时, k = .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.（2）用四个与ABC ∆全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个．．示意图，并简要说明理由. 答案22．（1）12k =；--------------------------1分 证明：连接AD 、BF . 可得1()2BD b a =-.∴ ()()11112224ABD S BD AB b a a a b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-，()()11112224FBD S BD FE b a b b b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-.∵ 0>>a b ， ∴ FBD ABD S S ∆∆<， 即 ()14a b a -()14b b a <-.∴ ab b a ab -<-22. ∴ ab b a 222>+.--------------------------2分（2）答案不唯一，图1分，理由1分.举例：如图，理由： 延长BA 、FE 交于点I .∵ 0>>a b ， ∴ IBCE ABCD S S >矩形矩形， 即 )()(a b a a b b ->-. ∴ 22a ab ab b ->-.∴ ab b a 222>+.---------4分 举例：如图，理由： 四个直角三角形的面积和11422S a b ab =⨯⋅=， 大正方形的面积222S a b =+.∵ 0>>a b ， ∴ 21S S >. ∴ ab b a 222>+.--------------------------4分（2010年崇文一模）22．正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE b =（a b 2<），且边AD 和AE 在同一直线上 ．小明发现：当b a =时，如图①，在BA 上选取中点G ，连结FG 和CG ,裁掉FAG ∆和CHD ∆的位置构成正方形FGCH ．（1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．D EABCFmIG H mFCBAED（2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足=AEBG． 22．（1）（2）21．2009年阅读理解试题汇编： （2009年宣武区一模）24．对于三个数a 、b 、c ，M ｜a ，b ，c ｜表示这三个数的平均数，min {a ，b ，c }表示a 、b 、c 这三个数中最小的数，如：M {－1，2，3}3321++-=34=，min {－1，2，3}＝－1；M {－1，2，a }＝31321+=++-a a ，m {－1，2，a }＝⎩⎨⎧->--≤),1(1),1(a a a解决下列问题：(1)填空：min {sin30°，cos45°，tan30°}＝________；若min {2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围是________；(2)①若M {2，x ＋1，2x }＝min {2，x ＋1，2x }，那么x ＝________；②根据①，你发现结论“若M {a ，b ，c }＝min {a ，b ，c }，那么________”(填a ，b ，c 大小关系)； ③运用②，填空：若M {2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }＝min {2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }，则x ＋y ＝________； (3)在同一直角坐标系中作出函数y ＝x ＋1，y ＝(x －1)2，y ＝2－x 的图象(不需列表，描点)，通过图象，得出min {x ＋1，(x －1)2，2－x }最大值为________．第24题图 答案24．解：(1)21，0≤x ≤1； (2)①1，②a ＝b ＝c ，③－4 (3)图象如图所示，min {x ＋1，(x －1)2，2－x }最大值为1．第24题答图（2009年西城一模）22．已知：如图，△ABC 中，AC ＜AB ＜BC ．(1)在BC 边上确定点P 的位置，使∠APC ＝∠C ．请画出图形，不写画法；(2)在图中画出一条直线l ，使得直线l 分别与AB 、BC 边交于点M 、N ，并且沿直线l 将△ABC 剪开后可拼成一个等腰梯形．请画出直线l 及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法． 说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．第22题图答案22．解：(1)答案见图①、②(任选一种即可)．(2)答案见图③．剪拼方法：取AB 的中点M ，过点M 作AP 的平行线l ，与BC 交于点N ，过点A 作BC 的平行线，与l 交于点H ，将△BMN 绕点M 顺时针旋转180°到△AMH ，则四边形ACNH 为拼接后的等腰梯形．第22题答图（2009年石景山一模）22．在数学小组活动中，小聪同学出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l ，在直线l两边各放一粒跳棋子A 、B ，使线段AB 长a cm ，并关于直线l 对称，在图中P 1处有一粒跳棋子，P 1距A 点b cm ，与直线l 的距离c cm ，按以下程序起跳：第1次，从P 1点以A 为对称中心跳至P 2点；第2次，从P 2点以l 为对称轴跳至P 3点；第3次，从P 3点以B 为对称中心跳至P 4点；第4次，从P 4点以l 为对称轴跳至P 1点．(1)画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母(画图工具不限)；(2)棋子按上述程序跳跃15次后停下，假设a ＝8，b ＝6，c ＝3，计算这时它与点A 的距离．第22题答案．解：(1)跳棋子跳过路径及各点字母如图．(2)跳跃15次后，停在P 4处， 过P 4作P 4C ⊥AB ，垂足为C 点，则351364=-=C P ； 由AC ＝7，2128449354==+=∴A P ．第22题答图（2009年海淀一模）22．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图①，平行四边形ABCD 中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是平行四边形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D 也是平行四边形ABCD 的一对等高点． (1)如图②，已知平行四边形ABCD ，请你在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE (要求：画出必要的辅助线)；(2)已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点(不与B 、D 点重合)，请分别探究图③、图④中S 1，S 2，S 3，S 4四者之间的等量关系(S 1，S 2，S 3，S 4分别表示△ABP ，△CBP ，△CDP ，△ADP 的面积)： ①如图③，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C 时，你得到的一个结论是________； ②如图④，当四边形ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论是________．第22题图答案．解：(1)比如：第22题答图(2)①S 1＋S 4＝S 2＋S 3或S 1＋S 3＝S 2＋S 4或S 1·S 3＝S 2·S 4或3241S S S S =等． ②S 1·S 3＝S 2·S 4或3421S S S S =等．（2009年东城一模）25．(本题满分8分)请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图①，若弦AB 、CD 交于点P 则PA ·PB ＝PC ·PD ．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O 的半径为2，P 是⊙O 内一点，且OP ＝1，过点P 任作一弦AC ，过A 、C 两点分别作⊙O 的切线m 和n ，作PQ ⊥m 于点Q ，PR ⊥n 于点R ．(如图②)(1)若AC 恰经过圆心O ，请你在图③中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值； (2)若OP ⊥AC ，请你在图④中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值；(3)若AC 是过点P 的任一弦(图②)，请你结合(1)(2)的结论，猜想：PRPQ 11+的值，并给出证明．① ②第25题图答案．解：(1)AC 过圆心O ，且m ，n 分别切⊙O 于点A ，C ，如图①所示，第25题答图∴AC ⊥m 于点A ，AC ⊥n 于点C ，∴Q 与A 重合，R 与C 重合，OP ＝1，AC ＝4，3431111=+=+∴PR PQ ． (2)连结OA ，如图②所示，OP ⊥AC 于点P ，且OP ＝1，OA ＝2， ∴∠OAP ＝30°， ∴AP ＝3．OA ⊥直线m ，PQ ⊥直线m ， ∴OA ∥PQ ，∠PQA ＝90°， ∴∠APQ ＝∠OAP ＝30°， ∴在Rt △AQP 中，23=PQ ． 同理，23=PR ， 34323211=+=+∴PR PQ ．(3)猜想3411=+PR PQ 证明：过点A 作直径交⊙O 于点E ，连结CE ，如图③所示，∴ECA ＝90°．AE ⊥直线m ，PQ ⊥直线m ，∴AE ∥PQ 且∠PQA ＝90°．∴∠EAC ＝∠APQ ．∴△AEC ∽△PAQ ．①.APAE PQ AC =∴ 同理可得：∴②.PCAE PR AC = ①＋②，得 PCAE AP AE PR AC PQ AC +=+∴， PC AP AE PC AP AP PC AC AE PC AP AC AE PR PQ ⋅⋅⋅=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∴1111． 过点P 作直径交O 于点M ，N由阅读材料可知：AP ·PC ＝PM ·PN ＝3．3411=+∴PR PQ（2009年顺义一模）22. 取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC 绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为α的角(045)α<≤得到ABC '△，如图所示．试问：（1）当α为多少度时，能使得图②中AB DC ∥？（2）连结BD ，当045α<≤时，探寻DBC CAC BDC ''∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．22.（1）由题意CAC α'=∠，要使AB DC ∥，须BAC ACD =∠∠，30BAC ∴=∠．453015CAC BAC BAC α''==-=-=∠∠∠，即15α=时，能使得AB DC ∥．------------------------------------------------------------2分(2）DBC CAC BDC ''∠+∠+∠的值的大小没有变化, 总是105°.-------------------3分当045α<≤时，总有EFC '△存在．EFC BDC DBC CAC α'''=+=，，∠∠∠∠ FEC C α'=+∠∠，又180EFC FEC C '''+∠+=∠∠，180BDC DBC C C α''∴++++=∠∠∠∠．又4530C C '==，∠∠，105DBC CAC BDC ''∴++=∠∠∠．------------------------------------------------------5分（2009年朝阳一模）23. （本小题5分）将图①，将一张直角三角形纸片A B C 折叠，使点A 与点C 重合，这时D E 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.A E D A E DA ACB图① 图② 图③（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜三角形ABC ，使其顶点A 在格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ；（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 .答案（1）…………………………………………………………………1分（说明：只需画出折痕.）（2） …………………………………………………………………2分（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.）（3）三角形的一边长与该边上的高相等. …………………………………………3分（4）对角线互相垂直.（注：回答菱形、正方形不给分）………………………5分B。