（4-2）
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
根据牛顿第三定律，质点系内力总是成对出现，相互作用，具有大小
相等、方向相反、作用在同一条直线上的性质。因此，每对内力的矢
量和其对任意点的力矩之和均等于零。故式（4-2）可化为
m

FRi = 0 ，m来自MO (FRi ) = 0
（4-3）
同一直线的力，弹簧两端会开始背向远离，直到其内部产生的弹性力
和施加的力相等，才能停下来、停止伸长。在此例中，在弹簧停止伸
长之前，作用在它上面的力系是符合式（4-4）的，但弹簧仍然在运
动，不平衡。在弹簧停止伸长之后，处于平衡状态，同时，其上作用
的外力系也符合式（4-4）。
对于具体的问题而言，条件中的外力包括主动力及约束力。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.1 一般空间力系作用下刚体的平衡方程
由上文的讨论得知，刚体平衡的充要条件是作用在刚体上的外力系的 主矢及外力对任一点的主矩都为零，写成矢量方程组是式（4-4），
在工程中，为了方便应用，可以利用矢量投影定理，将其投影在三个
互相垂直的坐标轴上，得到6个标量形式的平衡方程：
处于平衡。
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.2 质点系的平衡条件
质点系平衡，指质点系中每一个质点均处于平衡状态。即质点系中所
有的质点都相对参考系全都处于静止状态，或全都处于匀速运动状态。 下文来研究处于平衡状态的质点系上外力F1，F2，…，Fn间的关系。
我们知道，作用于质点系中每个质点上的力可以分为外力和内力两种，
第四章 刚体和刚体系统的平衡
第一节 质点系和刚体的平衡条件 第二节 刚体的平衡方程 第三节 刚体平衡问题 第四节 静定刚体系统的平衡问题 第五节 钢化原理 第六节 摩擦及考虑摩擦时的平衡问题 总结与讨论 习题
4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.1 单质点的平衡条件
质点i系1 中每个质点上外力的合力等于i1 所有外力合力，质点系中每个质
点上外力的合力对点之矩的和等于所有外力对点之矩的和。上式可进
一步化为

Fi 0
，
MO (Fi ) 0
（4-4）
上式表明，质点系处于平衡时，作用于该质点系的外力系的主矢及外
力对任一点的主矩必定为零，由第2章知，作用于该质点系的外力系
知， FRi fRi = 0
，即每个小组的合力为零。可以推出，所有小
组的力的合力为零，即所研究的力系的主矢为零。根据合力矩定理，
每个小组的力对任意点的力矩之和也等于零，即主矩也为零。由此得
到质点系平衡时其上作用的力系应满足的条件，即平衡条件
m

(FRi fRi ) = 0
i 1
， m MO (FRi fRi ) = 0 i 1

Fiz 0,
Mx (Fi ) 0, M y (Fi ) 0
（4-8）
可以看出，对于受空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系作用而 处于平衡状态的刚体，当如上所述选取合适的坐标系时，都将有三个 平衡方程自动满足，独立的平衡方程只有三个。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.3 平面力系作用下刚体的平衡方程
内力为质点系内各质点间相互的作用力。设所研究质点系由n个质点
构成，其上所受外力为F1，F2，…，Fn，用表示作用于第个质点的
外力的合力，用表示作用于第个质点的内力的合力。把作用于每个质
点上的力作为一个小组，来计算作用于该质点系的外力及质点系质点
间内力构成的力系的主矢和主矩。对于第个质点，根据式（4-1）
为平衡力系。式（4-4）成立是质点系处于平衡状态的必要条件，即
质点系平衡，式（4-4）一定成立。
反过来看，式（4-4）成立是否质点系一定平衡呢？需要分不同的情 况讨论。
对于单个刚体而言，可以证明，式（4-4）是单个刚体平衡的充要条 件，即

Fi 0
，
MO (Fi ) 0
成立上。一页 下一页 返回
上述平衡方程适用于任意力系作用下的刚体，但如果作用在刚体上的
力系是空间特殊力系，则上述方程中的某些平衡方程会自动满足，方
程数目会减少。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.2 特殊空间力系作用下刚体的平衡方程
对于空间汇交力系，如果取汇交点为坐标原点，则力系中各力对通过
汇交点的任一轴的力矩都为零，三个力矩方程自动满足。独立平衡方
对于单个质点，由于作用在单质点上的力系只能是汇交力系，汇交力 系在汇交点可以合成一合力，根据牛顿第一定律，质点平衡的充分必 要条件是合力等于零，即力系的主矢

FR 0
（4-1）
也就是说，单个质点处于平衡，则肯定有作用在该质点上的力系的合
力为零；反过来说，当作用在某质点上的力系的合力为零时，该质点
程只剩三个

Fix 0,
Fiy 0,
Fiz 0
（4-6）
对于空间力偶系，由于力偶在任一轴上的投影为零，力的投影方程自
然满足。独立平衡方程只剩三个

Mx (Fi ) 0, My (Fi ) 0, Mz (Fi ) 0
（4-7）
对于力系中所有力的作用线相互平行的空间力系，若坐标系的轴与力 作用线平行，则各力在轴和轴上的投影均为零，各力对轴之矩均为零， 三个方程自动满足，只剩三个独立方程

Fix 0,
Fiy 0,
Fiz 0
（4-5）
M x (Fi ) 0, M y (Fi ) 0, M z (Fi ) 0
式（4-5）为一般空间力系的平衡方程，也叫做空间任意力系的平衡
方程。
上述方程表明，平衡力系中所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和 都为零；同时平衡力系中所有力各轴之矩的代数和也分别等于零。
4.1 质点系和刚体的平衡条件
但对变形体而言，变形体平衡，式（4-4）成立，反过来则不一定成 立，即
变形体平衡可以得出

Fi 0
，
MO (Fi ) 0
成立。
但
Fi 0 ， MO (Fi ) 0成立，变形体不一定平衡。
例如，在一根比较细弱的弹簧两端施加大小相等、方向相反、作用在