稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡
例7.1 匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕 固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、 长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。
求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，
以及OA与AB间的作用力。
O
P1 A

F
B
P2
解：
（1） 以AB为研究对象，有
Ll n1 n
l
1
2
x1
3
x2
4
x3
……
L
10 1/ n n1 1.258
10
H 9/4
例7.4 有一半径为R的圆柱A，静止 在水平地面上，并与竖直墙面相接 触。现有另一质量与A相同，半径 为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A， 将B放在A的上面，并使之与墙面 相接触，如图所示，然后放手。己 知圆柱A与地面的静摩擦系数为 0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后，两圆柱体能保持 图示的平衡，问圆柱B与墙面间的 静摩擦系数和圆柱B的半径的值各 应满足什么条件？
Br A
R
解：对A球：
mg N1 N3 sin F3 cos 0（1）
F1 N3 cos F3 sin 0 （2）
F1R F3R
（3）
对B球：
mg F2 N3 sin F3 cos 0 （4）
N2 N3 cos F3 sin 0
N
N 的方向与水平线的夹角满足： A
F
B
tan P2
P2
F
例 7.2 有 6 个完全相同 的刚性长条薄片 AiB（i i=l， 2…，6），其两端下方各有 一个小突起。薄片及突起 的重量均可以不计。现将 此 6 个薄片架在一只水平 的碗口上，使每个薄片一 端的小突起 Bi 恰在碗口 上。另一端小突起 Ai 位于 其下方薄片的正中，由正上方俯视如囹所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点，这一点与此薄片中点的距离 等于它与小突起 A6 的距离，求薄片 A6B6 中点所受的（由另 一薄片的小突起 A1 所施的）压力。
Pi-1
Ai
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
F3

3 N3
3

F3 N3
cos 1 sin
r


7 13
2
R

0.29R
综合上述结果，可得到r满足的条件：
R r 0.29R
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2

mg
3 4
l

P6l

0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg

r mgr N1
r F1
圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：
F2 2N2 2 1
圆柱A在地面上不发生滑动：
F1

1N1

1

F1 N1

cos 2 cos 2sin
cos R r , sin 1 cos2 2 Rr
Rr
Rr
r1R 9
两圆柱的接触点不发生滑动：
F3r F2r
（5）
（6） A
联立（1）~（6）解得：
N1

2 cos 2sin 1 cos sin
mg
N2

F1

F2

F3

1
cos cos
sin
mg
1 sin N3 1 cos sin mg
B
r F3
r N3 r
N3
r r F2
N2
mgr r F3
Fl2
sin


P2
l2 2
cos

O
tan P2
2F
P1 A

F
B
以OA+l1 2
cos

P2
(Fl1
cos

l2 2
)

F
(l1
sin


l2
sin

)
tan P1 2P2
2F
（2） 以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此
N F 2 P22
x1

x2

mx1

m( x1 2m
l
/
2)

x1

l 4
x2

l 4
x1

x2

x3

m( x1

x2 )

m( x1 2m

x2

l
/
2)

x1

x2

l 6
LL
x3

l 6
xn

l 2n
L 10
l 10 1
2 n1 xn 2 n1 n
H 9h 9 l 4
10 1
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi

0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。