专题代数与几何综合类一、函数应用类例1如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象(总利润=总销售额−总成本).由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案：方案(1)是不改变食品售价，减少总成本；方案(2)是不改变总成本，提高食品售价。

下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象,则分别反映了方案(1)(2)的图象是（）A.②，③B.①，③C.①，④D.④，②例2一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示,通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,OB,OC组成。

为记录寻宝者的行进路线,在BC的中点M处放置了一台定位仪器。

设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则寻宝者的行进路线可能为（）A.A→O→BB.B→A→CC.B→O→CD.C→B→O例3为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等。

设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值?最大值是多少?未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y1=14t+25(1⩽t⩽20,且t为整数),后20天每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系为y2=12t+40(21⩽t⩽40,且t为整数).下面我们就来研究销售这种商品的有关问题。

（1）认真分析表格中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)的关系式。

（2）试预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少?（3）在实际销售的前20天中,该公司决定每销售1件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程。

公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a的取值范围。

二、方程及函数综合例1 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作需要多少天?例2 某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m (30<m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．（1）求出y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队总人数的增加而增加，求m 的取值范围．三、函数与不等式综合例1 如图,直线y =kx +b 经过A (2,1),B (−1,−2)两点,则不等式221->+>b kx x 的解集为（ ） A.x <2 B.x >−1 C.x <1或x >2 D.−1<x <2 例2 观察下列函数2,x y x y ==和xy 1=,则给出的下列命题（ ） ①如果21a a a >>，那么10<<a ；②如果a a a 12>>，那么1>a ；③如果a a a >>21，那么01<<-a ；④如果a aa >>12，那么1-<a 。

A.正确的命题是①④B.错误的命题是②③④C.正确的命题是①②D.错误的命题只有③例3 如图，直线b x k y +=1与双曲线xk y 2=交于A ，B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式b xk x k +<21的解集是___________。

例4 已知函数y =3−(x −m )(x −n ),并且a ,b 是方程3−(x −m )(x −n )=0的两个根,则实数m ,n ,a ,b 的大小关系可能是（ ）A.m <n <b <aB.m <a <n <bC.a <m <b <nD.a <m <n <b例5 已知直线554,131,321+-=+==x y x y x y 的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y 1，y 2，y 3中的最小值，则y 的最大值为____________．四、利用代数运算进行几何判断与推理例1 如图，已知在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ，C 不重合),作BE ⊥AD 于E ,CF ⊥AD 于F ,则BE +CF 的值( )A. 不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小例2 某同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF ，BE 是△ABC 的中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，设BC =a ，AC =b ，AB =c . 求证：a 2+b 2=5c 2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF ，利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF ∽△BPA ，故21===BA EF PA PF BP EP ，设PF =m ，PE =n ，用m ，n 把PA ，PB 分别表示出来，再在Rt △APE ，Rt △BPF 中利用勾股定理计算，消去m ，n 即可得证。

（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程。

（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD 中,O 为对角线AC ,BD 的交点,E ,F 分别为线段AO ,DO 的中点,连接BE ,CF 并延长交于点M ,BM ,CM 分别交AD 于点G ,H ,如图2所示,求MG 2+MH 2的值。

例3 如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90°，CO ⊥AB 于点O ，点D ，E 分别在边AC 、BC 上，且AD =CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE =∠COE ；③若AC =1,则四边形CEOD 的面积为14；④AD 2+BE 2−2OP 2=2DP ·PE ，其中所有正确结论的序号是____________.例3图 练习1图练习1 如图,△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径,∠B =30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ，交AB 于点D ，连接AE ，则S △ADE :S △CDB 的值等于____________.练习2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =2，如果将△ABC 沿直线翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线与边BC 交于点D ，那么BD 的长为( ) A.13 B.215 C.227 D.12练习2图 练习3图练习3 如图,矩形ABCD 的边长AD =3,AB =2,E 为AB 的中点,F 在边BC 上,且BF =2FC ,AF 分别与DE 、DB 相交于点M ,N ,则MN 的长为( ) A.522 B.2029 C.423 D.524五、利用函数知识进行几何判断与推理例1 如图1，直线n x y +-=34交x 轴于点A ，交y 轴于点C (0,4)，抛物线c bx x y ++=232经过点A ，交y 轴于点B (0,−2)，点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转,得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。

例2 如图1，四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，34tan A 。

（1）求CD 边的长；（2）如图2，将直线CD 边沿箭头方向平移，交DA 于点P ，交CB 于点Q (点Q 运动到点B 停止)。

设DP =x ，四边形PQCD 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。

例3 如图，抛物线y =ax 2+bx −5(a ≠0)经过点A (4,−5)，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC =5OB ，抛物线的顶点为点D . （1）求这条抛物线的表达式；（2）连接AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO =∠ABC ，求点E 的坐标。

练习1 如图，正三角形ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点（不与点B 、C 重合），且∠APD =60°，PD 交AB 于点D ，设BP =x ，BD =y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 练习2 如图，在△ABC 中，AC =BC =25，AB =30，D 是AB 上的一点(不与A 、B 重合)，DE ⊥BC ，垂足是点E ，设BD =x ，四边形ACED 的周长为y ，则下列图象能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A. B. C. D.练习3 如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，54sin =∠AOB ，反比例函数xy 48=在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于（ ） A.60 B.80 C.30 D.40。