第一套试题
数学（一）试题（1-1）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
） （1）若01
12cos 2cos lim
2
≠=-+-→a x x
x x ，则（ ）。
（A ）22-==a k ， （ B ）22-=-=a k ， （C ）22==a k ， （D ）22=-=a k ，
（2）设),,(0000z y x P 是条件极值问题⎪⎩⎪⎨⎧=----++=0
1)1(.32),,(min 2
22
22y x z t s z
y x z y x u 的解，且22
0202032R z y x =++。
又设1π，2π分别是曲面222232R z y x =++和曲面
01)1(22=----y x z 在点),,(0000z y x P 的切平面，则（ ）。
（A ）1π与2π互相垂直 （B ）1π与2π重合 （C ）1π与2π的法线的夹角是0
45 （D ）A ，B ，C 都不正确
（3）设常数0>α，正项级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则级数
∑∞
=+++-1
2
2
cos 1)
1(n n n
n a α
（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）敛散性与α的值有关
（4）设由zx yz xy e z
++=确定的隐函数为),(y x f z =，则),(y x f z =存在的充分条件
与曲面),(y x f z =在点)0,1,1(处的切平面方程分别为（ ）。
（A ）0≠--y x e z 与2=++z y x （B ）0≠++y x e z
与2=++z y x
（C ）0≠--y x e z 与2=--z y x （D ）0≠++y x e z
与2=--z y x
（5）设10<<R ，则二重积分设10<<R ，则二重积分σd xy e I R y x y
x ⎰⎰≤+++=2222
21等于（ ）。
（A ）4σd xy e y x R y x y
x ⎰⎰>>≤+++0
,02222
2
1 （B ）2σd xy e x R y x y x ⎰⎰>≤+++0
2
222
2
1 （C ）4
σd xy
e y x R y x y
x ⎰⎰
<>≤+++0
,02
22
2
21 （D ）0
（6）若)(x f 在)1,1(-内可微，且A f f ==)0(,0)0('''存在，则极限
3
))
1(ln()(lim
x
x f x f x +-→（ ）。
（A ）等于A （B ）等于A - （C ）等于
A 2
1
（D ）不存在 （7）设1λ，2λ是3阶矩阵A 的两个不同的特征值，1α，2α是A 的属于1λ的线性无关的特征向量，2α是A 的属于2λ的特征向量，则31ααA +，)(32αα-A ，31αα+A 线性相关的充分必要条件是（ ）。
（A ）01=λ或121=λλ （B ）02=λ或121=λλ （C ）01≠λ且121≠λλ （D ）02≠λ且121≠λλ
（8）对3阶矩阵A 的伴随矩阵*
A 先交换第1行和第3行，然后将第2列的-2倍加到第3列，得到矩阵E -，其中E 是3阶单位矩阵，则=A （ ）。
（（A ）1121⎛⎫ ⎪-
⎪ ⎪⎝⎭或1121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ （B ）1121⎛
⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭或1211⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）1121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭或1211-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ （D ）1211⎛
⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭或1211-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ （9）设41)|()|(==A B P B A P ，()
3
2
=A P ，则（ ） （A ）A 与B 独立，且12
5
)(=⋃B A P
（B ）A 与B 独立，且)()(B P A P = （C ）A 与B 不独立，且12
7)(=
⋃B A P （D ）A 与B 不独立，且()
)|(|B A P B A P =
（10）设总体X 二阶矩存在，n X X X ,,,21 是其简单的样本1>n ，样本均值为X ，则对
X 期望估计是，（ ）
（A ）2/)(1X X +不是无偏，但它比X 更有效 （B ）2/)(1X X +比X 更有效
（C ）利用切贝雪夫定理，2/)(1X X +以概率收敛于0，因此是一致估计
（D ）X 比2/)(1X X +更有效
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） （11）设)(x y y =在任意点),0(+∞∈x 满足)()sin (x x x x x y y ∆+∆+=∆ο，若02=⎪⎭
⎫
⎝⎛πy ，则=)(x y ________________。
（12）设{}
0,0,1)1(|),,(2223≥≥≤-++∈=Ωy x z y x R z y x 则
=++Ω⎰⎰⎰
Ω
2
2
2
z
y x d _______________________。
（13）若n x nx x f )1(2)(-=，记[]
{})(m a
x 1,0x f M x n ∈=，则=∞
→n n M l
i m ____________________。
（14）假设在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族中，有一条曲线L ，是沿该曲线从O 到A 的积分
⎰+++L
dy y x dx y
)2()1(3
的值达到最大，则该曲线为_____________________。
（15）设321,,ααα是3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，),,(123ααα=B ，
B A
C -=2，已知1||=A ，则=||C _______________。
（16）设总体),0(~2
σN X ，设1521,,,X X X 为其简单样本，则
∑∑==-15
11
2
10
1
)1(2i i
i
i X
X 服从的分布是_____________________。
三、解答题（本题9小题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分10分）求幂级数∑∞
=+11n n n x 的和函数，并求∑∞
=+-1
1
)1(n n n 的和。
（18）（本小题满分11分）设)(x f 在[]b a ,上一阶可导，在),(b a 内二阶可导，
0)()(==b f a f ，0)()(''>b f a f ，证明：
（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ； （2）存在),(b a ∈η，使)()('
'
'ηηf f =；
（3）存在),(b a ∈ζ，使得)()('
'ζζf f =。
（19）（本小题满分10分）设函数)(x y y =在),(+∞-∞内具有二阶导数，且
)(,0)('y x x x y =≠是)(x y y =的反函数。
（1）试将)(y x x =所满足的微分方程0)sin (3
22=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++dy dx x y dy x
d 变换为)(x y y =满足的微分方程；
（2）求变换后的微分方程满足初始条件2
3
)0(,0)0('
=
=y y 的解。
（20）（本小题满分11分）设{
}
0|),,(2
223≤≤---∈=Ωz y x a R z y x ，0>a ，S 为
的外侧边界，计算
()
⎰⎰
+++++S
z y x
dzdx
a x axdydz 2
1
2
22
1
)(2。
（21）（本小题满分11分）设二次型3
231212
32221321222),,(x bx x x x ax x x x x x x f +++++=的秩为1，且T )1,1,0(-是二次型矩阵的特征向量， （1）求参数a ，b ；
（2）求正交变换Qy x =，把二次型化为标准型),,(321x x x f ； （3）判断1),,(321=x x x f 表示哪种二次曲面。
（22）（本小题满分11分）参数a 取何值时线性方程⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++-=+++2321
3213212
)3(a ax x x a x ax x x x a ax 组有无穷
多解？求出通解。
（23）（本小题满分11分）设二维随机变量)5.0,2,2,0,0(~),(N Y X ，求（Ⅰ）2
X U =的密度函数；（Ⅱ）)(XY E 。
（24）（本小题满分11分）假设随机变量服从参数为1=λ的指数分布，随机变量
⎩
⎨
⎧>≤，，若，
，若k Y k Y X k 10 2,1=k 求（Ⅰ）21,X X 的联合概率分布；（Ⅱ）1X 和2X 的相关系数。