椭圆的极坐标方程及其应用如图，倾斜角为θ且过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明:2211PF QF +为定值改为：抛物线22(0)y px p => 呢？例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。
练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =，求椭圆C 的离心率；例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值．练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=⋅且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： ||1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.推广：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,F 是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n 个不同点12,,,n P P P ⋅⋅⋅,若122311n n n PFP P FP P FP P FP -∠=∠=⋅⋅⋅=∠=∠,则11||ni i nPF ep ==∑，你能证明吗？ 练习3. （08年福建理科）如图，椭圆2222.1(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有222OA OB AB +<,求a 的取值范围.作业1. （08年宁夏文）过椭圆14522=+yx 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为.作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。
若3FA FB =,求AF 。
作业 3. （15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围。
练习4.（08年安徽文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞，其相应于焦点F (2，0)的准线方程为x =4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.求证：22cos AB =-θ；（Ⅲ）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求AB DE +的最小值.作业5. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =,求弦AB 的中点到准线的距离.参考答案：例1.练习1.例2.练习2..例3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+b ya x . 因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右 准线l 的方程为ca x 2=，从而由已知36,1222==a ca ，因此3327,622==-==c a b a .故所求椭圆方程为1273622=+y x .（Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性假设1203θπ≤<,且213124,33θθθθππ=+=+ 又设点i P 在l 上的射影为i Q ,因椭圆的离心率12c e a ==,据椭圆第二定义得 2||||(||cos )i i i i ia FP PQ e c FP e c θ==--1(9cos )2i i FP θ=-(1,2,3)i = ∴121(1cos )92i i FP θ=+(1,2,3)i =. ∴11112311121243(cos cos()cos()9233FP FP FP θθθππ⎡⎤++=+++++⎢⎥⎣⎦ 又11111111241313cos cos()cos()cos cos cos sin 0332222θθθθθθθθππ++++=---+= ∴12311123FP FP FP ++=(定值) 方法二:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性假设1203θπ≤<,且 213124,33θθθθππ=+=+,另设点(,)i i P x y ,则||cos 3,||sin i i i i ii x PF y PF θθ=+= 点i P 在椭圆上,∴22(||cos 3)(||sin )13627i i ii PF PF θθ++= ∴11(2cos )9i i FP θ=+(1,2,3)i =,以下同方法一 ∴12311123FP FP FP ++=(定值) 推广：引理1:(1)sincos()22cos cos()cos(2)cos()sin2n n n ββθθθβθβθββ+++++++⋅⋅⋅++=.证明:1cos sin[sin()sin()]2222βββθθθ=+-------------------------(1) 13cos()sin [sin()sin()]2222βββθβθθ+=+-+----------------------(2)……12121cos()sin[sin()sin()]2222n n n βθβθβθβ+-+=+-+----------(1n +) 将上述1n +个式子相加得1211[cos cos()cos()]sin[sin()sin()]2222n n βθθβθβθβθβ++++⋅⋅⋅++=+--∴(1)sin cos()22cos cos()cos()sin2n n n ββθθθβθββ+++++⋅⋅⋅++=证明:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,,)i i AFP i n θ∠==⋅⋅⋅,不失一般性假设120n θπ≤<,且2131124,,,n n n n nθθθθθθππ2(-1)π=+=+⋅⋅⋅=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ,据椭圆第二定义得2||||(||cos )i i i i i a FP PQ e c FP e cθ==--(1,2,,)i n =⋅⋅⋅ ∴21(1cos )i i ae FP bθ=+(1,2,,)i n =⋅⋅⋅. ∴11121122(1){[cos cos()cos()]}||ni i a n n e PF b n n ππθθθ=-=++++⋅⋅⋅++∑在引理1中,令12,n πθθβ==,则11122(1)cos cos()cos()n n nππθθθ-+++⋅⋅⋅++11(1)(1)sin cos()sin cos()220sinsin2n n n n nπββπθθβπ--++===∴211||ni i naPF b ==∑.练习3.解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以OF =, 即12,3bb 解得 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my a b=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=所以222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++ 因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m a b m a b mm a b b a b a a b m +-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立，即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0.a2<a 2b 2- b 2, a 2<( a2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a<b 2,即a 2-a -1>0,解得a >12+或a <12-(舍去)，即a >12+, 综合（i ）(ii)，a 的取值范围为（12+，+∞）.解法二。
作业 1.作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。
解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF ==||2AF ∴=作业3.作业4.作业5.83Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。