描写的状态，A 为归一化常数，求粒子能量
的概率分布和能量期望值。
解： 先求归一化系数 A
aψ*ψd 0
x A2
a A2x2 (a
0
a5 1 30

x)2d x
A
A2
30 a5

a5 3

a5 2

a5 5

15
无限深势阱中粒子能量算符的本征函数
ψn x
本征值：λ1 , λ2 ,L λn ,L ,λ
本征函数：φ1 ,φ2 ,L φn ,L φλ
å ò ψ = Cnφn +
n
Cλφλd λ
Cn n* d C * d
F Cn 2n C 2 d n 9
三、力学量算符之间的关系
1．算符的对易关系 （1）基本对易关系 （2）角动量算符的对易关系

a
对于宽度为 a 的阱，能量本征函数为
n x
2 a
sin

n
a

x

a 2

20
将1 x 按 n x 展开 1 x Cnn x
n
C1
a2 a 2
1

x
1

x

d
x

2 a
a2 a 2
sin
称为定态。
其特征有：
①. 处在定态中的粒子，其能量有确定值。 ②.处在定态中的粒子，其概率密度与时间无关。
③.处在定态中的粒子，其概率流密度与时间无关。
4
（2）概率密度与概率流密度所满足的微分方程
Ñ



v J

0
t
及积分式
d dt
称为量子力学中的守恒律；
d
v J

dr
2．两个定理
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
逆 定 理 若算符 Fˆ 与 Gˆ 对易，则它们具有共同的本
征函数完全系
10
3．不同力学量同时可测定的条件： 力学量算符彼此对易。
4．测不准关系
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 [Fˆ ,Gˆ ] ikˆ 4
试判断: （并说明其理由）
(1)波函数 1(x) 和 2 (x) 是否描述同一状态?
(2)对 1(x) 取 n 2 两种情况,得到的两个波函数
是否等价?
2
解：(1)
因
1(x)


A
sin
n x
2a
cos
n
2
cos
n x
2a
sin
n
2

0
| x | a
(2)因1(x) 是 n 的奇函数，在 n 2 两种情况下,两
波函数仅相差－负号，故得到的两个波函数等价。 3
Ex.4回. 答下列问题
（1）什么是量子力学中的定态？它有什么特征？
（2）什么是量子力学中的守恒律？它的物理意义是 什么？
答：（1）由波函数
(rv,
t)

(rr

)e
i h
E t 描述的状态
无共同本征态。
（×）
（3）在任一态中，两对易的力学算符所表
示的两力学量均可测定。
（×）
（4）角动量分量 Lˆx 和Lˆy 能有共同本征态， 但无共同的本征函数完全系。 （√）
（5）自由粒子处于定态，则动量有确定
值。
（√）
22
Ex.1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?
并指出哪几个波函数描写同一状态。
1 ei2x/h ,
2 ei2x/h,
3 3ei(2xh)/ h ,
4 ei3x/h , 5 ei2x/h , 6 (4 2i)ei2x/h.
答：上列一组波函数共描写粒子的三个不同状态。
若量子力学中的力学量F 在经典力学中有相
应 典的表力示学F 量rr,，pr 则中表将示动该量力pr学换量成的动算量符算Fˆ符由prˆ经
而得出：
Fˆ Fˆ (rv, Pvˆ)
7
二、力学量的测量值与力学量算符关系：
★ 假设：力学量算符的本征值是力学量的可
测量值。将体系的状态波函数用算符Fˆ 的本
2 sin nπ x aa

ψ(x) Cnψn (x)
n1
2 a
n1
Cn
sin
nπ a
x
Cn
ψn*ψ dx
30 a5
2a
nπ
x(a x) sin xdx
a0
a

2
60 a3

a nπ
3
1
1n


4 15 n3π 3
1 (1)n


xe
2
x
2


e


2
x
2
dx

13
1 π1 h
=
?
2α π α
2α2 = 2μω
U 1 2 x2 1
2
4
（2）
P2 *(x)Pˆ 2 (x)dx




e
2x2 2


i
d2 dx2
e
E2


es4
2h2n2
n2


es4
8h2
出现的概率 平均值

1 2
2


3 2
2
1
E

E2


es4
82
角动量平方可能值 L2 2h2，出现的概率为1
平均值 L2 22
（2）轨道角动量 z 分量 Lz的可能值有 0, h
出现的概率分别是
(
3

x
2a


2

sin

x
a


2

d
x
2 a2 x x
8

cos cos d x
a a 2 2a
a
3
粒子留在基态的概率
C1
2

64
9 2
21
例4、判断下列提法的正误，并举例说明。
（1）若两个力学量算符有共同本征态，则
它们彼此对易。
（×）
（2）若两个力学量算符不对易，则它们定
征函数系 n 展开
cnn c d n
则在 态中测量力学量 F 得到结果为 n 的
概率是 Cn 2 ，得到结果在 ~ d 范围内
的概率是 C 2 d
8
★ 力学量的平均值
方法一： F *(rv,t)Fˆ (rv,t)d3rv
方法二： 力学量算符 Fˆ 本征方程 Fˆ
其中，1 、 5 、 6 三个波函数描写粒子的同－状态。 2 、 3 两个波函数描写粒子的同－状态。
4 描写粒子的－状、 态。
E值x.Pr21.、P已r2知和一Pr微3 ，观试粒写子出的其动状量态以波等函概数率。取三个可能
解：
CPr
1
3

rr P P1

π4 96
故
E

5h 2 2 μa 2
17
例3、设氢原子的状态为


r,
,


1
2
211

r,
,


C
210

r,
,

（其中 C 为常数）
求：（1）氢原子能量、轨道角动量平方的可能值，
这些可能值出现的概率及它们的平均值。
（2）轨道角动量z 分量的可能值及这些可能
值出现的概率和这些力学量的平均值。
解：由归一化条件 r,, r,, d 1
求得归一化常数 C 3 2
归一化波函数为

r, ,


1 2

211
r, ,


3 2

210

r,
,

18
例 题 二 （续2）
（1） 由题可知 n 2 l 1
m 0, 1
能量可能值
| x | a
2 (x)


A
sin
n x
2a
cos
Байду номын сангаас
n
2

cos
n x
2a
sin
n
2

0
| x | a
当 n为奇数时，有 1(x) 2 (x)
当 n为偶数时，有 1(x) 2 (x)
| x | a
即1(x)和 2(x)线性相关，故它们描述粒子的同一状态。
2x2 2
dx
2 ( 4 x2 2 )e 2x2 dx


2


4


2 3




1 22

1

2
2
14
T 1 P2 1
2
4
例2.宽度为 a 的一维无限深势阱中运动的
粒子处在由波函数
(x) Ax(a x)
(x)2
(pˆ x )2

h2 4
四、力学量算符的本征值问题：