走向高考 · 数 学
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一部分
微专题强化练
第一部分 二 增分指导练
26(文24) 函数与方程的思想、 分类讨论的思想
1 考向分析 2 考题引路 3 强化训练
考向分析
1．通过函数的零点、函数的最值、方程根的个数及分类 讨论，考查函数与方程的关系及应用．
(1)证明：函数 Fn(x)＝fn(x)－2 在12，1内有且仅有一个零点 (记为 xn)，且 xn＝12＋12xnn＋1；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同 的等差数列，其各项和为 gn(x)，比较 fn(x)和 gn(x)的大小，并加 以证明．
[立意与点拨] 考查等比数列、函数的零点、利用导数研 究函数的性质及函数思想、转化思想、分类讨论思想；解答本 题第(1)问可转化为函数在区间端点值异号且函数单调，第(2)
[立意与点拨] 考查导数的运算，导数在研究函数中的应
用和分类讨论思想；(1)由f′(x)为二次函数借助判别式确定 其单调区间；(2)由f(x)的单调性建立关于a的不等式求解．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0 的判别式 Δ＝
36(1－a)．
①若 a≥1，则 Δ≤0，因此 f′(x)≥0，且 f′(x)＝0 当且仅
当 x∈(x2，x1)时 f′(x)<0，故 f(x)在(x2，x1)是减函数； 若 a<0，则当 x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时 f′(x)<0，故 f(x) 分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是减函数； 当 x∈(x1，x2)时 f ′(x)>0，故 f(x)在(x1，x2)上是增函数．
(2)当 a>0，x>0 时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3>0，故当 a>0 时， f(x)在区间(1,2)是增函数．
当 a<0 时，f(x)在区间(1,2)时是增函数当且仅当 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0，解得－54≤a<0.
综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)．
(理)(2015·陕西理，21)设 fn(x)是等比数列 1，x，x2，…，xn 的各项和，其中 x>0，n∈N，n≥2.
问建立辅助函数h(x)＝fn(x)－gn(x)，通过数列求和、导数研 究h(x)的符号来比较大小．
当 a＝1，x＝－1，故此时 f(x)在 R 上是增函数．
②由于 a≠0，故当 a<1 时，f′(x)＝0 有两个根：
x1＝－1＋a
1－a，x2＝－1－a
1－a .
若 0<a<1，则当 x∈(－∞，x2)或 x∈(x1，＋∞)时 f′(x)>0， f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
2．通过函数、数列、平面向量、三角、不等式、面积与 体积计算及解析几何等知识考查方程思想的应用．
3．通过数学概念、公式、性质、定理的限制条件、几何 图形的形状、位置关系，含参数的讨论等考查分类讨论思想的 应用．
考题引路
考例1 (2015·新课标Ⅱ理，13)设向量a，b不平行，向 量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
[立意与点拨] 考查向量共线和方程思想的应用；利用共 线条件列方程求解．
[答案]
1 2
[解析] 因为向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以 λa＋b＝k(a
＋2b)，则λ1＝＝k2，k， 所以 λ＝12.
考例2 (文)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围．