无此条件， 无此条件，公式不成立
练习
(1) 5 + 2 6 + 7 − 4 3 − 6 − 4 2 ; (2)2 3 × 3 1.5 × 6 12
（1）拆项，配方，绝对值 ）拆项，配方， （2）变为同次根式，再运算。 ）变为同次根式，再运算。 6
2 2
32 6 2 2 × 6 33 × 6 2 × 2 ⋅ 3 2 32 2 ＝2 × 6 33 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2 ＝2 × 3 = 6
x2 −2 x
的值域
0< y≤2
2 (x ∈ R) 是实数， 例 3 设 a 是实数， f ( x ) = a − x 2 +1
为增函数； 试证明对于任意 a, f ( x ) 为增函数；
证明： 证明：设 x1 , x2 ∈ R,且 x1 < x2 且
f ( x1 ) − f ( x2 ) = (a −
根式 知识点 1．整数指数幂的概念 ．
a n = a ⋅4⋅ a4 a(n ∈ N *) 1a2L 3
n个a
a 0 = 1( a ≠ 0)
a
−n
1 = n (a ≠ 0, n ∈ N *) a
2．运算性质 ．
a m ⋅ a n = a m + n ( m, n ∈ Z ) (a m ) n = a mn (m, n ∈ Z ) (ab) n = a n ⋅ b n (n ∈ Z )
根式的定义
一般地， 一般地，若 x = a ( n > 1, n ∈ N *)
n
次方根。 则 x 叫做 a 的 n 次方根。
记为： 记为： n 根指数
a
被开方数 根式
根式的性质 1. 当n为奇数时： 为奇数时： 为奇数时 正数的n次方根为正数，负数的 次方根为负数 正数的 次方根为正数，负数的n次方根为负数 次方根为正数
1 2 1 −2 2
1 2
−
1 2
, 5
(2) x + x
3 2
−
3 2
.
2 5
x +x
1 2
−
1 2
1 1 − = x + 2 + x −1 = 5 (2) x 2 ) 3 + ( x 2 ) 3 （ 1 1
=± 5
( x + x 2 )[( x + x −1 ) − 1]
2
−
x + x −1 = 3 ⇒ x > 0
分子，分母同乘 分子，
⇒ 2m−n
mn
m n + − n m
m+n− m−n
讨论： 讨论：见后
1. m>0， n>0， A= ， 且 ， 则
2m−n m+n− m−n
m−n n−m 若 m ≥ n，则 A= ， ；若 m<n，则 A= ， n m 2n−m 2. 设 m<0，且 n<0，则 A= ， ， −m−n− n−m m−n n−m . 若 n ≥ m，则 A= ， ； 若 n<m，则 A= ， n m
16 − 4 2 4×( − 4 ) 2 −3 27 =( ) = ( ) =( ) 81 3 3 8
3 3
2. 用分数指数幂的形式表示下列各式： 用分数指数幂的形式表示下列各式： 1).
a2 ⋅ a, a3 ⋅ 3 a2 , a a,
a
5 2
a a
3 4
11 3
3. 计算下列各式（式中字母都是正数） 计算下列各式（式中字母都是正数）
n n 为任意正整数时， 当 n 为任意正整数时， ( a ) =a.
2. 当n为奇数时 为奇数时
n
an = a
a , ( a ≥ 0) a = a = − a, (a < 0)
n
当n为偶数时 为偶数时
n
3. 根式的基本性质： 根式的基本性质：
np
a mp = n a m , (a ≥ 0)
m<n
1.1m < 1.1n
m<n
指数函数的应用 求下列函数的定义域、值域： 例1. 求下列函数的定义域、值域：
⑴ y = 0 .4
1 x −1
⑵y =3
5 x −1
⑶ y = 2 +1
x
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x的取值范围。 的取值范围。 的取值范围 （1）定义域为 ）定义域为{x|x≠1}； ；
某种放射性物质不断变化为其他物质， 例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 年剩 某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过1年剩 留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随 留的这种物质是原来的 ， 时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年， 时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留 是原来的一半（结果保留1个有效数字 个有效数字）。 是原来的一半（结果保留 个有效数字）。 经过x年 经过 年，剩留量
x1 + x2 − 2 < 0
x1 + x2 − 2 > 0
x1 , x2 ∈ (− ∞,1]
y2/y1>1，函数单调增 ， y2/y1<1，函数单调减 ，
x1 , x2 ∈ [1, + ∞ )
解法二.（用复合函数的单调性） 解法二 （用复合函数的单调性）
2 设： u = x − 2 x
1 则： y = 2
指数-分数指数 指数 分数指数 正数的正分数指数幂
m n
a
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1) ＞ ∈ 且 ＞ 根指数是分母， 根指数是分母，幂指数是分子
= n am
正数的负分数指数幂和0的分数指数幂 正数的负分数指数幂和 的分数指数幂
− m n
a
=
1 a
m n
(a＞0，m,n∈N*,且n＞1) ＞ ， ∈ 且 ＞
3.5
从图上看出y=0.5只需 只需x≈4. 从图上看出 只需
y=0.84x
1 0.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
比较大小： 例2 比较大小： ① 1.72.5， 1.73 ； ② 0.8 -0.1 ， 0.8 -0.2 ； < < ③ 1.70.3 ， 0.93.1 > 利用函数单调性 y= 1.7 x 在R是增函数 是增函数 y= 0.8 x 在R是减函数 是减函数 y= 1.7 x >1, y= 0.8 x <1
练习
2 3 4 5
比较大小： ⑴ 比较大小： (−2.5) < , (−2.5)
(− 2.5)
2 3
= (+ 2.5) , (− 2.5) = (+ 2.5)
2 3 4 5
4 5
底数化为正数。 底数化为正数。 (2). 已知下列不等式，试比较 、n的大小 已知下列不等式，试比较m、 的大小
2 m 2 n ( ) >( ) 3 3
1 例2. 求函数 y = 2
2 x2 − 2 x2
x 2 −2 x
的单调区间，并证明。 的单调区间，并证明。 结合图像
解一（作商法）：设 解一（作商法）：设，x1<x2 ）：
1 2 x1 − x1 − 2 x2 + 2 x1 ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 2 ) 2 y2 2 1 1 = = = 2 x1 − 2 x1 y1 1 2 2 x2 − x1 > 0 2
u
在R内单减 内单减
u = x2 − 2x
在[-∞,1)内，单减；[1,∞)内，单增。 内 单减； 内 单增。 同增，异减。 同增，异减。 在上单调递增， ∴函数y在上单调递增，在上单调递减。 函数 在上单调递增 在上单调递减。
1 引申：求函数 y = 2
单调区间内的值域：边界值。 单调区间内的值域：边界值。
= 2 2
x
2
2 2x 1
2 ) − (a − x ) 2 2 +1 +1
+1 2
−
2
x
1
=
2(2 x 1 − 2 x 2 ) (2 x 1 + 1)(2 x 2 + 1)
2x 在R内单增，x1<x2：f(x1)<f(x2) 内单增， 内单增 所以对于a取任意实数， 为增函数。 所以对于 取任意实数，f(x)为增函数。 取任意实数 为增函数
1 ≠0 x −1
值域为{y|y>0且y≠1} 且 值域为⑴Leabharlann y = 0 .41 x −1
⑵y =3
5 x −1
⑶ y = 2 +1
x
1 （2） 定义域为{x| x ≥ } ） 5
值域为{y|y≥1} 值域为 y≥1
5 x − 1 ≥0
（3）所求函数定义域为 ）所求函数定义域为R 值域为{y|y>1} 值域为
练习 1求值： 求值： 求值
2 3
1 −3 16 8 ,100 , ( ) , ( ) 4 81
2 3 3× 2 3
2 3
−
1 2
−
3 4
解： 8 = ( 2 3 ) = 2
= 22 = 4
1 2×( − ) 2
100
−
1 2
= (10 )
2
−
1 2
= 10
1 = 10 = 10
−1
1 −3 − 2 −3 ( −2 )×( −3) 6 ( ) = (2 ) = 2 = 2 = 64 4