一、复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。

如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρθx=cos ，ρθy=sin ，3、 参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 表示什么曲线？4、 圆222)()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。

ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。

显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？二、题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3){利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=--tt tt y x 2222（t 为参数）表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆解析：注意到2t t与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到02>t ，222222=⋅≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B .练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一⎩⎨⎧==t y tx A 2cos sin ⎩⎨⎧-==ty t x B 2tan 1tan ⎩⎨⎧=-=ty t x C 1⎩⎨⎧==ty t x D 2sin cos元二次方程的判别式0∆≥问题.解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤≤所以2x y +，最小值为（2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为),(y x ，它的极坐标为),(θρ，则⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=x yy x θρtan 222；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.例2、极坐标方程52sin42=⋅θρ表示的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为)0,0(O ，对于方程22)cos sin (22)4sin(=+=+θρθρπθρ， 可得1sin cos =+θρθρ，化为直角坐标方程为10x y +-=，练习2、极坐标方程0cos 2=-ρθρ转化成直角坐标方程为（ ）A ．1022==+y y x 或 B ．1x = C ．1022==+x y x 或 D ．1y =分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析：0cos 2=-ρθρ，022=+=⇒y x ρ，或0cos ==x θρ，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈解析：2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标，因此选C. （3）、参数方程与直角坐标方程互化例3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得10)2(22=++y x ，∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ，∵θθρsin 6cos 2+=，θρθρρsin 6cos 22+=∴， ∵222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， ∴y x y x 6222+=+，即10)2(22=++y x ， ∴曲线2C 的直角坐标方程为10)2(22=++y x ；（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1(，∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C∴两圆相交，设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C ∴222)10()223()2(=+d ，∴22=d ，∴公共弦长为22练习1、坐标系与参数方程.已知曲线C ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 21cos 23y x （θ为参数，πθ20≤≤)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x（Ⅱ）()θθρsin cos 32+=（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离. 解：直线2C 化成普通方程是122--+y x ，设所求的点为()θθsin ,cos 1+P ， 则C 到直线2C 的距离2|122sin cos 1|-+++=θθd |2)4sin(|++=πθ，当234ππθ=+时，即45πθ=时，d 取最小值1 ，此时，点P 的坐标是)22,221(--.练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆08cos 7sin 6cos 8222=++--+θθθy x y x （R ∈θ）的圆心为),(y x P ，求y x -2的取值范.解：由题设得⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4y x （θ为参数，R ∈θ），于是)cos(73sin 3cos 82ϕθθθ+=-=-y x ，所以73273≤-≤-y x .练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 5453（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求||MN 的最大值.解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为： θρρsin 22=又222ρ=+y x ， θρcos =x ，θρsin =y . 所以，曲线C 的直角坐标方程为：0222=-+y y x .（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：)2(34--=x y ， 令0=y 得2=x 即M 点的坐标为)0,2(，又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(，半径1=r ， 则5||=MC ，15||||+=+≤∴r MC MN .（5）直线参数方程中的参数的几何意义例5、已知直线l 经过点)1,1(P ，倾斜角6πα=，①写出直线l 的参数方程;②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．（2）把直线12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，得2221(1)(1)4,1)202t t t +++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．练习1、求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（为参数t）被曲线)4πρθ=+所截的弦长.解：将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541，)4πρθ=+分别化为普通方程：3410x y ++=，022=+-+y x y x ，圆心)21,21(-C ，半径为22， 圆心到直线的距离101=d ，弦长571001212222=-=-=d r l .（6）、参数方程与极坐标的简单应用参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.例6、已知ABC ∆的三个顶点的极坐标分别为)3,5(πA ，)2,5(πB ，)3,34(π-C ， 判断ABC ∆的形状，并计算其面积.分析：判断ABC ∆的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解析：如图，对于3π=∠AOB ，65π=∠BOC ，65π=∠AOC ， 又5||||==OB OA ，34||=OC ，由余弦定理得：2222cos AC OA OC OA OC AOC=+-⋅⋅∠(225525cos6π=+-⨯⨯133=， 133||=∴AC ，同理133||=BC ，||||BC AC =∴，所以ABC ∆为等腰三角形，又5||||||===OB OA AB ， 所以AB 边上的高h ==，152ABC S ∆∴==.练习1、如图，点A 在直线5=x 上移动，等腰OPA ∆的顶角OPA ∠为0120（O ，P ，A按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程.解析：取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线5=x 的极坐标方程为cos 5ρθ=， 设),(00θρA ，),(θρP ，因点A 在直线cos 5ρθ=上，00cos 51ρθ∴=<> OPA∆为等腰三角形，且0120=∠OPAA ，而ρ=||OP ，0||ρ=OA ，以及30POA ∠=︒，00302ρθθ∴==-︒<>，且，把<2>代入<1>， 得点P ()cos 305θ-︒=.三、趁热打铁1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 解析：D ， 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制.BAO x Cy P AO x2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 解析：B ，当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2.3．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 BD解析：B 11221x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=，12125t t -===12t -=4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4.5．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。