【全国百强校】北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若（是虚数单位），则的值为（）
A．3 B．5 C．D．
2. 在各项均为正数的等比数列中，，则（）
A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3
3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（）
A．5 B．12 C．25 D．50
4. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（）
A．B．C．D．
5. 已知平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且这
两条平行直线间的最短距离为，若点,则的最小值为（）
A．B．
C．
D．
6. 如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（）
A．17 B．13 C．5 D．1
7. 某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）
A．B．C．D．
8. 某公司有4家直营店，，，，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示:
根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
二、双空题
9. 若展开式中的二项式系数和为64，则等于___，该展开式中的常数项为____．
三、填空题
10. 椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆
上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____.
11. 在极坐标系中，过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程是
_________．
12. 如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，17）建立模型
①；
根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，7）建立模型
②.
利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为
_____，_____；并且可以判断利用模型_____得到的预测值更可靠.
13. 对于函数，若存在区间，当时的值域为
，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.
14. 定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有
成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.
①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.
四、解答题
15. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）已知，是函数的两个零点，求的最小值.
16. 空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七
指数级
别
类别户外活动建议
Ⅰ优
可正常活动
Ⅱ良
Ⅲ
轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症
状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗
和户外活动．
轻度污染
Ⅳ
中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降
低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏
病、肺病患者应减少体力活动．
中度重污
染
Ⅴ重污染
健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前
出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避
免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．
现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这60天中属轻度污染的天数；
（2）求这60天空气质量指数的平均值；
（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且
此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．
17. 在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，点，分别在线段、上，且，，.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 圆与轴交于、两点，为圆上一点.椭圆
以、为焦点且过点.
（Ⅰ）当点坐标为时，求的值及椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求的椭圆交于、不同的两点，且点，，求直线在轴上截距的取值范围.
19. 已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论函数极值点的个数.
20. 已知集合为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有成立；②从中任取个集合都有成立．
（Ⅰ）若，，，写出满足题意的一组集合；
（Ⅱ）若，，写出满足题意的一组集合以及集合；（Ⅲ) 若，，求集合中的元素个数的最小值．。