教学楼经济疏散数学模型摘要研究在险情发生时如何在最短时间内组织人员逃出某建筑物这类应急处理问题，是为了寻求到最佳的疏散方案，建立了人流疏散数学模型，该模型考虑到人流速度与人流密度之间的关系，以疏散时间最短为目标函数。

根据此模型求解得到了2号教学楼人员快速疏散的优化方案。

问题一：假设只有单行和双行两种方式。

而人流速度主要与人员密度有关，0.80v v ρ-=-。

通过分析知流量随人流密度的增加先增后减，单行流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。

经分析得出：540.800.8110[([/1])/2]*/[(2[1/1])]([1/1])ij i j l t N l d c v d v d --==⎧⎫=+-+-+⎨⎬-+⎩⎭∑∑问题二：在问题一的基础上，给出符合实际情况的数据，经求解得出： 当V 0=4.0m/s 时，t=158.18s ；当V 0=3.0m/s 时，t=216.25s得出最佳撤离方案：即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，最后撤出三至五层楼的人员。

问题三：为方便紧急撤离，我们给出五个改进措施，并画出教学楼的设计图。

为使模型简化，给出了一些合理的假设，简化和数据，从而得出疏散时各楼层的模拟图。

最终列出模型方程：5440.80.810111'[()/3]/[2(1/1)]ij j i j j t N N c l v d --===⎧⎫=-*+-+⎨⎬⎩⎭∑∑∑代入问题二中的数据，得到：当V 0=4.0m/s 时，t=48.6059s ；当V 0=3.0m/s 时，t=65.3174s与问题二中所求的疏散时间相比较，显然我们改进的方案的疏散时间较短。

故我们的改进方案可行性较强。

关键词: 人员疏散 疏散方案 疏散模型 人流密度 人流速度1.问题的重述1.1问题的背景学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，当发生地震、火灾等安全事故，或晚自习突发停电等突发事件时，师生需要尽快撤离事故现场，由于学校教学楼开放的安全通道有限，加上缺少合理的人员疏散方案，造成师生上下课时的楼道拥堵。

在灾难发生之时，建筑物内的人员是否能有组织、有秩序地撤离是有关人身安全保障的大问题。

对于一个特定的建筑物，管理人员最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及撤离方案。

这个问题可以通过反复的实际演习来解决。

但多次反复的演习实际上是不可能的。

理想的办法是通过理论上的分析得到。

1.2问题的提出现在考虑学校的2号教学楼，共5层，其中每层楼有两排教室，一层共4间，2至5层各5间，如图1,2：图1 1楼原平面图图2 2至5楼原平面图为了发行方便对其进行简化处理，即将A、B、C、D、E五间教室都各划分为两间小教室，每间小教室对应一个门，如图3,4：图4 1楼简化平面图图3 2至5楼简化平面图楼里的师生们可以沿教室外的走廊一直走到楼梯间下楼，完成下面的问题：1.用数学模型来分析这栋教学楼的师生疏散所用的时间；2.根据建立的数学模型给出最佳撤离方案；3.为方便紧急撤离，结合实际，就教学楼的设计方案给出合化的建议；若教学楼按你预计的方案建设，考虑到不同年龄的学生的运动能力不同，为方便紧急撤离，给学校提供合理的教室安排方案。

2.模型假设1.楼道中与楼梯上无障碍物；2.疏散时走道左右两边教室的人员各自排成一行独立有序行进，互不影响；3.撤离人员间隔均匀且行进速度保持不变;4.全部人员的反应时间是一样的；5.地震时，老师与学生都在教室中；6.队列中人的身体厚度相同；7.在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理；8.个体始终朝出口方向移动，不考虑心理层面对个体的行为的影响；9.忽略卡死与跌倒现象；10.到一楼楼梯底即为逃脱。

3.符号说明与名词解释3.1符号说明为第i层楼第j个教室中的人数；1.Nij2.Li为第i个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离；3.D为教室门的宽度；4.H为楼房的层高；5.v是人流移动速度；v是不发生拥挤时自由移动速度；6.7.ρ是人流密度；8.b为肩宽；c为步长；e为身体厚度；9.楼梯宽度w；楼梯长度l；10.走廊宽度f；=-；11.d为相邻个体间距，d c e12.l为相邻楼层间的楼梯长度；13.人流的宽度：[/]D b。

3.2名词解释1.单行：人员排成一列行走；2.双行：人员排成两列行走；3.人行流(人流)：运动的人员视为连续流动的介质，即人流。

4.模型的准备4.1人行流(人流)的基本函数人流密度反应了人流内人员分布的稠密程度，通常是指单位面积内分布的人员的数目。

Fegress认为人流密度指单位面积的疏散走道上的人员的水平投影面积，它是一个分数值，其大小为p = nf／｛［(n-1)d0+nw］b/2｝其中，n为一定面积的总人数，f为单位水平投影面积(m2)，d人流间的间距(m)，w为人流间的厚度(m)，b为疏散通道宽度(m)。

式中的单位水平投影面积反映整个人流内人员投影面积的综合水平。

Fegress将人流内的人员按不同的年龄段分为3类人：青年人、中年人、老年人，各类人员的投影面积可按实际测量得出取平均值，然后按各类人员在人流中的百分比求加权平均值，即f = xa + yb + zc式中，f为单位水平投影面积(m2)，x、y、z分别为青年人、中年人、老年人平均的单人水平投影( m2)；a、b、c分别为青年人、中年人、老年人在人流中的百分比。

人流速度是指人流整体的行进速度，其值为人流首段的行进速度。

研究表明，人流速度是人流密度的函数：v = f ( p )，一般说来，由于性别、年龄、身体条件的不同，疏散人员的能力也各有不同。

为简化起见，Fegress将楼栋里的人群视为人流处理，并具有一定的密度、速度及流量，而不单独考虑人流内各个人员的具体特征。

图5显示了在不同疏散路线上人员行走速度与人员密度的关系：图5 人员行走速度与人员密度的关系4.2安全队列数安全队列数是指在保证安全不拥挤的前提下,疏散通道宽度一定时,最多允许同时通过的人员列数。

m = int[(b 0-0.238)/b *]其中，b *为人自由行走时所需的最小宽度，int 表示取整。

4.3行走速度人在紧急状态下行走速度会比正常情况下快。

根Predtechenskii Milinskii 的研究，正常情况下水平通道内的人流速度：v = (112p 4-380p 3+434p 2-217p+57)/60其中，p ≤0.92，当人流密度达到或超过这一数值时，人流便会现拥挤或堵塞。

在紧急情况下人流在水平通道内的行走速度为： v 1 = vu 1式中，u1= 1.49 - 0.36p 。

在紧急情况下人流在斜直方向(下楼梯)速度近似为：V 2 = u 1v研究对象是在无穷长的路上沿单向运动的一条人流假定不允许任何人超前行走，路上也没有岔路，在路上选定一个坐标原点，记作0x =。

以人流运动方向作为x 轴的正向，于是路上任一点用坐标x 表示。

对于每一时刻t 和每一点x ，引入3个基本函数：流量(,)q x t 一时刻t 单位时间内通过点x 的人数；密度(,)x t ρ一时刻t 点x 处单位长度内的人数；速度(,)u x t 一时刻t 通过点x 的人流速度。

将人流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流员、密度和速度。

注意：这里速度(,)u x t 不表示固定的哪一个人的速度。

3个基本函数之间存在着密切关系。

首先可以知道，单位时间内通过的人数等于单位长度内的人数与人流速度的乘积，即(,)(,)(,)q x t u x t x t ρ= (1)其次，经验告诉我们，人流速度u 总是随着人流密度ρ的增加而减小的当一个人前面没有人时，它将以最大速度行走，可描述为0ρ=时m u u =(最大使)：当人首尾相接造成堵塞时，人无法前进，可记为m ρρ=(最大使)时0u =，不妨简化地假设u 是ρ的线性函数，即(1)m mu u ρρ=- (2) 再由(1)式可得： (1)m m q u ρρρ=-(3) 表明流量随人流密度的增加先增后减，在''/2m ρρ=处达到最大使m q (图6)。

应该指出，(2)、(3)式是在平衡状态下,u ρ和q 之间的关系，即假定所有人的速度相同，路上各处人的人流密度相同。

图65.问题的分析5.1 问题一的分析由于本教学楼的楼道是对称双向的，故可简化为两个单边教室单向出口的形式。

人员疏散时间不仅与人员密度、出口通量、人员疏散速度有关系,还与建筑结构形式有关。

我们把运动的人员视为连续流动介质。

这里我们令[/]D b =1，2w =，即人员从门通过时是单行，楼梯最多并行两个人；且楼梯长度l 小于2L 。

由模型的准备可知流量随人流密度的增加先增后减，单行的流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。

单行速度1v ，双行速度2v ，如图7：图7 二楼人员刚出来时一楼的情况因为12v v >且2l L <，故二楼的1N 中第一个跑出的人员与一楼人员相遇。

如图8：图8 二楼人员与一楼人员相遇时一楼的情况忽略一些特殊情况，如图9： 此段当作双行图9 人员运动过程中的特殊情况n个人员单行，其余的都双行，故我由于人员都是连续的人流，故只有前面1们可以得出：疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间5.2问题二的分析根据假设，在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理。

在等待过程中，如果出现以下情况，如图10：图10 等待中出现的情况则可以自动调整为以下情况，如图11：图11 调整后的情况在问题一的基础上，在人员疏散过程中，我们设定以下规则：1.当不拥挤时，人员单行出楼时，无需等待，直接出楼；2.当拥挤时，人员按照排队理论，先到的人行流先行；3.若出现图10的情况时，自动转变为图11；4.即使不是在同一人行流中，到出口时，可以互相“组队”形成双行，使楼梯利用率最大。

我们模拟地震逃亡，给出一些符合实际的模拟数据，给出最佳撤离方案。

5.2问题三的分析为方便紧急撤离，我们就教学楼的设计方案给出以下建议：1.把楼梯建于四个教室的中间；2.使所有门建于靠近楼梯的一端；3.一楼无走廊，一楼的人员可以直接从门里逃脱出去；5.适当拓宽门、走廊和楼梯；6.在面积不变的情况下，减小五个楼层的教室的Li。

5.3问题四的分析为方便说明，不妨设运动能力(年龄由大到小)为A 、B 、C 、D 、E(A>B>C>D>E)。

明显，我们先把运动能力为E 的人员安排在一楼。

下面讨论运动能力为A 、B 、C 、D 的人员的安排情况。

由经验可知：5423(*)/2ij i j c N l ==>∑∑以及5221(*)/2ij i j c N l ==>∑∑故可以认为人流不间断，且都是以最大流量从出口出去。