北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB --=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=-设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。