高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）1 C高三上学期期中考试（三角函数、平面向量、数列）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束, 将答题卡交回. 考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 答案不能答在试题卷上.3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷 （选择题 共52分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知向量(1,3),(,1)a b m =-=，若向量,a b 夹角为3π，则m = A ．3B C ．0D ． 2. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =A ．3144AB AD +B ．2141AB AD -+C ．12AB AD +D ．3142AB AD +3. 在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34(,)55P ，则sin 2α= A.2425 B ．65 C. 35-D 4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？” 意思是：“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤？” (设该金杖由粗到细是均匀变化的)A ．21B ．18C ．15D ．12 5. 已知4sin cos ,(,)342ππθθθ+=∈，则sin cosθθ-= AB ．C ．13D ．13-6. 在ABC △中，60A =︒∠，1AB =，2AC =．若3BD DC =，,AE AC AB R λλ=-∈，且1AD AE ⋅=，则λ的值为 A ．213 B ．1 C ．311 D ．8137. 对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是A ．||||||a b a b ⋅<⋅B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()()||||a b a b a b -+=-D ．22()(||||)a b a b +=+8. 在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅=A ．32 B ．94- C ．52- D ．3- 9. 22cos ()sin ()44x x ππ++-=A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．1-10. 已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-，则tan β=高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）2 A ．2BC ．23D ．79二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

11.函数22()2(cos sin )f x x x x =--的图象为C ，如下结论正确的是A ．()f x 的最小正周期为πB ．对任意的x R ∈，都有(+)+()01212f x f x ππ-=C ．()f x 在,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 D ．由2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C 12. 已知平面向量a b c ，，满足1a b c ===，若12a b ⋅=，则()()2a b b c -⋅-的值可能为A ．2-B ．3C ．0D ．13.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．” 若把以上这段文字写成公式，即S=.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:AB C =，且ABC 的面积ABCS=, 请运用上述公式判断下列命题正确的是A ．ABC ∆周长为10+B ．ABC ∆三个内角,,A C B 成等差数列 C ．ABC ∆D ．ABC ∆中线CD 的长为高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）3 第Ⅱ卷（非选择题 共98分）三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

14. 已知向量(cos ,1)a x =-，1(3sin ,)2b x =-，若//a b ，则||=a _________________;15. 已知函数21()sin ,(0)2f x x ωω=->的周期为2π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为______________;16. 已知,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，若2c a b =-，则cos ,a c=___________;17. 已知函数()2cos 21,(0,)f x x x x R ωωω=-->∈，若()f x 在区间(,)ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于(,1)ω-对称，则函数()y f x =的最大值为________,ω=_________________.四、解答题：本大题共6小题，共82分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 为等比数列，且111=()2n n n a a ++--．（1）求公比q 和3a 的值；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：121,1,n n a S a --+成等比数列．19.（本小题满分14分）在ABC ∆中，a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积与ADC ∆面积比为35.（1）求sin sin CB；（2）若三边,,c b a 成等差数列，求角A .20.（本小题满分14分）在锐角三角形ABC ∆中， a , b , c 分别是角,,A B C 的对边，且2sin sin sin C BB-=cos cos a Bb A.（1）求A ； （2）求bc的取值范围. 21.（本小题满分14分）设2())sin (sin cos )12f x x x x x π=+++-.（1）求()f x 的周期及()y f x =图象的对称轴方程；（2）讨论()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及最值.22.（本小题满分14分）已知{}n a 是各项为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.（1）设221n n n c b b +=-，*n N ∈，求证：{}n c 是等差数列；（2）若11,12a d ==,211n n d c =-(*n N ∈), （Ⅰ）求数列{}2(1)n n b -的前2n 项和2n S ；（Ⅱ）求数列{}n d 的前n 项和n T .23.（本小题满分14分）平面内的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”; 平面内的“向量列” {}n b ，如果10b ≠且对于任意的正整数n ，均有1,0n n b q b q +=⋅≠，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）若“向量列”{}n b 是“等比向量列”，用1b 和“公比”q 表示12n b b b ++⋅⋅⋅+；（2）若{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”()1,0d =，110,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”， “公比”2q =，11(,1)2b =，(,)n n n b m k =. 求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅．高三数学试题参考答案二、填空题14.1315. 8π16. 217. 1；6三、解答题18. 解: （1）111=()2nn na a++--11=()2nn na a-∴--两式相除得：12q=··························3分111111111=(()())()()2222n n n nn na a a a-++⎡⎤--=⋅-=-⎢⎥⎣⎦112a=318a=···············································6分（2）11()2nnS=-11()2nnS∴-+=，21211()2nna--=，112a=2221111(1)()()222n nnS-∴-+==⋅121,1,n na S a-∴-+成等比数列·····················12分19. 解：（1）由三角形面积111sin sin sin222ABCS ab C ac B bc A∆===得：1||sin32215||sin22ABDADCAc ADS cAS bb AD∆∆⋅===⋅由正弦定理得sin3sin5C cB b==·····································7分（2）,,c b a成等差数列::3:5:7c b a=，不妨设3,5,7,(0)c x b x a x x===>由余弦定理得：222925491cos2352x x xAx x+-==-⋅⋅23Aπ∴=·············································14分20.解：（1）由正弦定理得：2sin sin sin cossin sin cosC B A BB B A-=化简得：2sin cos sin cos sin cosC A B A A B-=2sin cos sinC A C=1cos2A=3Aπ=·······················································6分（2）由正弦定理得：sin sin(120)11sin sin2tan2b B Cc C C C-===⋅+······························10分因为ABC∆为锐角三角形,所以3090C<<tan3C∴>,1tan C<<·····································12分111222tan2C<+<1,22bc⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭··················································14分21. 解：（1）2())sin(sin cos)12f x x x x xπ=+++-2(1sin2)1x x=-++-cos2)1sin21x x=-++-2sin2)x x=+2sin(2)3xπ=+······························4分令232x kπππ+=+，解得212kxππ=+高三数学试题第4页（共5页）高三数学试题第5页（共5页）4高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）5 ∴周期为π，对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈············7分 （2）5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22,233x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3232x ππ+=，解得712x π=()f x ∴在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减区间为7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，增区间为75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值为7()212f π=-()06f π=···················14分 22. 解: （1）n b 是n a 和1n a +的等比中项21n n n b a a +∴=⋅221121n n nn n n n c bb a a a a ++++=-=⋅-⋅12()n n n a a a ++=⋅-12n d a +=⋅122n n c da ++=21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=,*n N ∈{}n c 是等差数列········································4分（2）（Ⅰ）22222221234212n n n S b b b b b b -=-+-++⋅⋅⋅-+2222222143221()()()n n b b b b b b -=-+-+⋅⋅⋅+-1321n c c c -=++⋅⋅⋅+由（1）知21n c n =+21321n n S c c c -=++⋅⋅⋅+2(341)22n n n n +-=⋅=+···········································9分 （Ⅱ）由（1）知21n c n =+221111111()(21)1444(1)41n d n n n n n n n ∴===⋅=-+-+++11111111(1)4223341n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+11(1)41n =-+ 4(1)nn =+·················································14分23. 解: （1）111211,1(1+)1,11n n n nb q b b b b q q q q b q q -⎧=⎪++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⎨-⋅≠⎪-⎩··········6分(2)1(1)n a a n d =+-⋅11,2n n x n y ∴=-=, 即()1,(1,)2n n n a x y n ==-···························8分 11n n b q b -=⋅1122n n m -=⋅,12n n k -=,即111(,)(2,2)2n n n n n b m k --==⋅·····················10分 1112112222222n n n n n n n n a b n -----⋅=⋅+⋅=⋅=⋅令101211221222322n n n n S a b a b a b n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅012121222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式相减得:1012122222n n n S n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅11(12)2212n n n --=-⋅- 11(1)22n n -=-⋅-11(1)22n n S n -∴=-⋅+··········································14分。