相交线与平行线章末重难点题型考点 1 点到直线的距离】 方法点拨】 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例 1 】（ 2019 春 ?厦门期末）如图，三角形 ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点 D ，则下列说法错误．．的A ．点 A 到直线 BC 的距离为线段 AB 的长度 B ．点 A 到直线 CD 的距离为线段 AD 的长度C ．点 B 到直线 AC 的距离为线段 BC 的长度D ．点 C 到直线 AB 的距离为线段 CD 的长度分析】根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析即可． 答案】解：∵∠ ACB ＝90 °，∴AC ⊥BC根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析：是（ ）A：点A到直线BC的距离为线段AC的长度，而不是线段AB 的长度，故A 错误．故选：A．【点睛】本题考查了点到直线的距离的基本概念，属于基础题型，难度不大．变式1-1 】（2019 春?雨花区期末）如图，∠ ACB＝90 °，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中正确的是（）①BC与AC互相垂直；② AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC 是点 B 到AC 的距离；⑥线段AC 的长度是点 A 到BC 的距离．A．①④③⑥B．①④⑥C．②③ D ．①④【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．①BC与AC互相垂直；② AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．【答案】解：∵∠ ACB＝90 °，∴AC⊥BC，故①正确；AC 与DC 相交不垂直，故②错误；点 A 到BC 的垂线段是线段AC，故③错误；点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；线段AC 的长度是点 A 到BC 的距离，故⑥正确．故选：B．【点睛】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．变式 1-2 】（2019 春 ?娄星区期末）如图所示，点 A 到 BC 所在的直线的距离是指图中线段（ A ．AC B ．AF C ．BD D ．CE【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案． 【答案】解：点 A 到 BC 所在直线的距离是线段 AF 的长度，故选： B ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．变式 1-3 】（2019 春 ?天河区校级月考）如图， AC ⊥BC ， CD ⊥AB ，下列结论中，正确的结论有（ ①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离；②线段 AC 是A 点到 BC 的距离； ③AB >AC >CD ；④线段 BC 是B 到 AC 的距离；⑤ CD <BC <AB ．A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【分析】根据垂直的定义，点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可． 【答案】解：①线段 CD 的长度是 C 点到 AB 的距离，正确；② 线段 AC 的长度是 A 点到 BC 的距离，错误； ③ AB >AC >CD ，正确；④ 线段 BC 的长度是 B 到 AC 的距离，错误； ⑤ CD <BC <AB ，正确； 故选： B ．）的长度．【点睛】本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90 °．【考点 2 相交线的交点问题】【方法点拨】 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条直线相交最多有10 个交1点，n 条直线相交，最多有1+2+3+ ⋯+ （n﹣1）＝n（n﹣ 1 ）个交点．2【例2】（2019 秋?旌阳区校级月考）在同一平面内的n 条直线两两相交，最多共有36 个交点，则n ＝（）A．7 B．8 C．9 D ．10【分析】从简单情形考虑：分别求出 2 条、3 条、4 条、5 条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【答案】解： 2 条直线相交最多有 1 个交点；3 条直线相交最多有1+2 个交点；4 条直线相交最多有1+2+3 个交点；5 条直线相交最多有1+2+3+4 个交点；6 条直线相交最多有1+2+3+4+5 个交点；所以n 条直线相交最多有1+2+3+4+5+ ⋯+ （n ﹣1）＝个交点；由题意得＝36 ，解得n＝9．故选：C．【点睛】此题考查图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．变式2-1 】（2019 秋? 鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有 6 个交点，⋯⋯，那么 7 条直线最多（分析】根据题意，结合图形，发现： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条直线相交最多有 10 个交点，故可猜想， n 条直线相交，最多有 1+2+3+ ⋯+ （ n ﹣1）＝ 个交点．答案】解：∵ 7 条直线两两相交： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条n 个交点，那么 m n 是（）∴m n ＝6，键．变式 2-3 】（ 2019 秋 ?江阴市校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直A ． 28 个交点B ． 24 个交点C ． 21 个交点D ． 15 个交点n （n ﹣1）∴七条直线相交最多有交点的个数是：故选： C ．点睛】此题主要考查了图形变化类， 此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归 纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．变式 2-2 】（ 2019 春 ?沙坪坝区校级月考） 同一平面内两两相交的四条直线，最多有m 个交点，最少有A ．1B ．6C ．8D ．4分析】根据每三条不交于同一点，可得 m ，根据都交于同一点，可得 n ，根据乘方的意义，可得答案． 答案】解：每三条不交于同一点，得都交于同一点，得 n ＝1，故选： B ．【点睛】 本题考查了相交线，利用每三条不交于同一点，都交于同一点得出m ， n 是解题关直线相交最多有 10 个交点，而 34×5，×7×6 ＝ 21 ．n （n ﹣1）＝6，m线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有11 条直线相交，最多交点的个数是（ ）【分析】根据题意，结合图形，发现： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点， 5 条直线相交最多有 10 个交点，故可猜想， n 条直线相交，最多有 1+2+3+ ⋯+ （ n ﹣1）＝ n （ n ﹣1） 个交点．【答案】解：∵ 10 条直线两两相交： 3 条直线相交最多有 3 个交点， 4 条直线相交最多有 6 个交点，5 条直线相交最多有 10 个交点，而 3＝ ×2×3，6＝ ×3 ×4 ，10 ＝ 1+2+3+4 ＝ ×4×5，∴11 条直线相交最多有交点的个数是： n （n ﹣1）＝ ×11 ×10 ＝55． 故选： C ．【点睛】此题主要考查了图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归 纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．考点 3 同位角、内错角、同旁内角的判断】 【方法点拨】 直线 AB ，CD 被第三条直线 EF 所截。

这三条直线形成了两个顶点， 围绕两个顶点的 8 个角之 间有三种特殊关系：* 同位角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 的同侧，在第三条直线 EF 的同旁（即位置相同）， 这样的一对角叫做同位角；* 内错角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的两旁（即位置交错），这 样的一对角叫做内错角；* 同旁内角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF 的同旁，这样的一对角叫6 个交点，像这样，D ． 66 个做同旁内角；例 3】（ 2019 春 ?巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（）B ．∠4 和∠5 是同旁内角【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断． 【答案】解： A 、∠3 和∠5 是同位角，故本选项不符合题意． B 、∠4 和∠5 是同旁内角，故本选项不符合题意．C 、∠2 和∠4 是对顶角，故本选项不符合题意．D 、∠2 和∠5 不是内错角，故本选项符合题意．故选： D ．【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截 线入手．变式 3-1 】（ 2019 春 ?西湖区校级月考）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）A ．同位角、同旁内角、内错角B ．同位角、内错角、同旁内角C ．同位角、对顶角、同旁内角D ．同位角、内错角、对顶角C ．∠2 和∠4 是对顶角D ．∠2 和∠5 是内错角A ．∠3 和∠5 是同位角分析】两条线a、b 被第三条直线 c 所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【答案】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：B．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．变式3-2 】（2019 春?闵行区期中）如图，同位角共有（）对．A．6 B．5 C．8 D ．7【分析】根据同位角的概念解答即可．【答案】解：同位角有 5 对，∠4 与∠7，∠3 与∠8，∠1 与∠7，∠5 与∠6 ，∠2 与∠9，∠1 与∠3，故选： A ．【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．变式3-3 】（2019 春?九龙坡区校级期中）如图，下列结论正确的是（）【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．【答案】解： A 、∠4 和∠5 是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．B、∠3 和（∠1+ ∠2 ）是对顶角，故本选项错误．C、∠3 和∠5 是内错角，故本选项正确．D、∠1 和（∠1+ ∠2 ）是同位角，故本选项错误．故选：C．点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．考点 4 平行线公理及其推论】方法点拨】平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。