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解：∵y＝sin x－ 3cos x＝2sinx－3π 由 y＝sin 2x 的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变． 得到 y＝sin x，再向右平移3π个单位得到 y＝sinx－3π，再将纵坐标 伸长到 2 倍，横坐标不变，得到 y＝2sinx－3π的图象．
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解：①f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx
＝212sin
ωx＋
3 2 cos
ωx＝2sinωx＋3π，
又∵T＝π，∴2ωπ＝π，即 ω＝2.
∴f(x)＝2sin2x＋π3. ∴函数 f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx 的振幅为 2，初相为π3.
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2．如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象， 则该函数的解析式为________．
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解析：由图知 A＝5，由T2＝52π－π＝32π，得 T＝3π，∴ω＝2Tπ＝23， 此时 y＝5sin23x＋φ. 下面求初相 φ. 法一：(单调性法)： ∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴23π＋φ∈2kπ＋π2，2kπ＋32π(k ∈Z)．＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，且|φ|＜π2)的部分图象如图所
示，则函数 f(x)的一个单调递增区间是( )
A.－172π，51π2
B.－172π，－1π2
C.－1π2，71π2
D.－1π2，51π2
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＝π3.
∴该函数的解析式为 y＝5sin23x＋3π.
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法四：(平移法)： 由图象知，将 y＝5sin23x的图象沿 x 轴向左平移π2个单位，就得到本 题图象，故所求函数解析式为 y＝5sin23x＋3π. 答案：y＝5sin23x＋3π
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[方法引航] 根据 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，
主要从以下四个方面来考虑：
最大值－最小值
(1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A＝
2
；
(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 k＝最大值＋2 最小值；
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(3)ω 的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 T＝2ωπ(ω＞0)来确 定 ω； (4)φ 的确定：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开始与 x 轴的交点(最 靠近原点)的横坐标为－ωφ即令ωx＋φ＝0，x＝－ωφ确定 φ.
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解析：选 D.由函数的图象可得14T＝23π－152π，
∴T＝π，则 ω＝2.
又图象过点152π，2，∴2sin2×152π＋φ＝2， ∴φ＝－3π＋2kπ，k∈Z，
取 k＝0, φ＝－π3，即得 f(x)＝2sin2x－3π， 其单调递增区间为kπ－1π2，kπ＋51π2，k∈Z，取 k＝0，即得选项 D 正确．
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②令 X＝2x＋3π，则 y＝2sin2x＋3π＝2sin X. 列表，并描点画出图象：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
X y＝sin X
0
π 2
π
3π 2
2π
0 1 0 －1 0
y＝2sin2x＋3π
0 2 0 －2 0
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③法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到 y ＝sinx＋3π的图象，再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标变为 原来的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋3π的图象，最后把 y＝ sin2x＋3π上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不变)，即可 得到 y＝2sin2x＋3π的图象．
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∴该函数的解析式为 y＝5sin23x＋3π. 法三：(起始点法)：
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的
横坐标 x 正是由 ωx＋φ＝0 解得的．故只需找出起始点横坐标 x0，
就可以迅速求得 φ.由图象易得 x0＝－π2，∴φ＝－ωx0＝－23×－2π
由－1≤sinωx－π6≤1. ………………5 分 得－3≤2sinωx－π6－1≤1， 所以函数 f(x)的值域为[－3,1]. ………………6 分
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考点二 由三角函数图象求解析式
1.由图象求三角
命题
函数性质
点 2.由图象求三角
函数解析式
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[例 3] (1)如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的 一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
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A．A＝3，T＝43π，φ＝－π6 C．A＝1，T＝43π，φ＝－34π
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第5课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
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1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A 振幅 周期 频率 相位 初相
＞0，ω＞0)，x∈[0，
＋∞)表示一个振
A
T＝
2π ω
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由 sin23π＋φ＝0 得23π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋3π(k∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝3π.∴该函数的解析式为 y＝5sin23x＋3π. 法二：(最值点法)：
将最高点坐标π4，5代入 y＝5sin23x＋φ， 得 5sinπ6＋φ＝5，∴6π＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， ∴φ＝2kπ＋3π(k∈Z)．又|φ|＜π，∴φ＝π3.
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[方法引航] (1)五点法作简图：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ) 的简图，主要是通过变量代换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，2π，π，32 π，2π 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得 出图象． (2)图象变换：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平 移”．
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(2)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单 位长度，得到的图象是( )
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解析：把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝cos x＋1 的图象，然后把所得 函数图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得 到函数 y＝cos(x＋1)的图象，故选 A. 答案：A
A
0 －A 0
(ωx＋φ)
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3.函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图
象的步骤
法一
法二
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4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移” 中平移的长度一致．(×) (2)将 y＝3sin 2x 的图象向左平移4π个单位后所得图象的解析式是 y ＝3sin2x＋4π.(×) (3)y＝sinx－4π的图象是由 y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位得 到的．(√)
求函数 f(x)的单调递增区间．
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[规范解答]
(1)f(x)＝
3 2 sin
ωx＋12cos
ωx＋
3 2 sin
ωx－12cos
ωx－
(cos ωx＋1)
＝2
3 2 sin
ωx－12cos
ωx－1………………2
分
＝2sinωx－π6－1.………………3 分
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法二：将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 变为原来的12倍，纵 坐标不变，得到 y＝sin 2x 的图象；再将 y＝sin 2x 的图象向左平移 π6个单位，得到 y＝sin 2x＋π6＝sin 2x＋3π的图象；再将 y ＝ sin2x＋3π的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到 y＝2sin2x＋3π的图象．
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1．若本例(1)条件不变，作出 f(x)在 x∈[0，π]内的图象．
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解：
x
0
ππ7 5 12 3 12π 6π
π
2x＋3π
π 3
π 2
π
3 2π
2π
7 3π
f(x)
3 2
1
0 －1
0
3 2
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描点法作图：
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2．将本例(2)变为：由 y＝sin 2x 如何变换得到 y＝sin x－ 3cos x的 图象．
f＝T1＝2ωπ
ωx＋φ
φ
动量时
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2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键
点，如下表所示：
x
－ωφ
－ωφ ＋2πω