4.2.2 直线运动
平行平板间流动，理想流体流动，流线为平行线 1.抛物线形速度分布 平行平板间，层流流动
umax y2 (2 y ) ux h h u y 0
线变形速度：
u y ux x 0, y 0 x y
剪变形角速度：
umax umax 1 u y ux 2y y z ( ) (2 ) (1 ) 2 x y 2h h h h
4.3.2 兰姆运动微分方程
将欧拉运动微分方程变形，以x方向为例：
u y dux ux ux ux u y u u uz (ux uy uz ) uy ( ) uz ( x z ) dt t x x x y x z x
2 2 2 ux ux u y uz ( ) 2u yz 2uz y t x 2 dux ux u 2 ( ) 2(uz y u yz ) 即： dt t x 2 du y u y u 2 同理可得： dt t y ( 2 ) 2(uxz uzx )
剪变形角速度：
1 u y ux 1 z ( ) (0 0ห้องสมุดไป่ตู้) 0 2 x y 2
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度：
1 u y ux 1 z ( ) (0 0 ) 0 0 2 x y 2
ε=0，γ=0—流体微团形状不变 ω≠0 — 流体运动有旋 2.速度与矢径成反比
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度为：
1 u y ux 1 z ( ) [(2 x y 2 ) ( x 2 2 y)] 2 x y 2 1 1 7 ( x y ) ( x 2 y 2 ) (1 2) (12 22 ) 2 2 2
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度：
z (
1 u y ux 2y ) 2umax (1 ) 2 x y h
ω ≠0，γ≠0—流体微团在做直线运动的同时，有剪 切变形，伴随有旋运动。 2.均匀速度分布
u x u 0 u y 0
线变形速度： x y z 0 剪变形角速度： x y z 0 平均旋转角速度： x y z 0
剪变形角速度：
1 u y ux y 2 x2 z ( ) 2 x y 2 ( x 2 y 2 )2
平均旋转角速度：
1 u y ux z ( )0 2 x y
ε≠0，γ≠0—流体微团在运动过程中发生形状改变 ω=0 — 流体运动无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
比较速度场的旋度和平均旋转角速度：
i j k 1 1 1 u rot u 2 2 x y z 2 ux u y uz
无旋即有势！
流体微团是否旋转
无旋运动 ω=0，即rot u=0 有旋运动 ω≠0，即rot u≠0
不能仅从宏观流体流动的特征来判断！ 圆周流动，直线流动
运动微分方程求解困难，在一定条件下可以得到 方程的解。
u 前提条件： t 0,
f U ,
f ( p)
对不可压缩流体：
u2 p ( U ) 2u 2
4.4.1 欧拉积分
在无旋流场中的积分， ω=0 矢量式：
u2 p ( U ) 0 2
第4章 旋涡理论和势流理论
[例]判断下列流场是势流还是涡流。 (1) ux=-2y, uy=3x (2) ux=0, uy=3xy
1 u y ux 1 ( ) [解](1) z 2 x y 2 (3 2) 0 ，为有旋流动，涡流 1 u y ux 1 3 ( ) (3 y 0) y ，y=0时为无旋流动 (2) z 2 x y 2 2
第4章 旋涡理论和势流理论
4.1.2 剪变形角速度
流体微团中某一直角的减小速度的一半 γ
1 u z u y ( ) x 2 y z 1 u x u z ) y ( 2 z x 1 u y u x ( ) z 2 x y
局部 惯性力 变位 质 量 力 表 面 力 矢量式
du 1 f p dt
求解ux，uy，uz，ρ，p，需要补充两个方程：
u v w 连续方程： t x y z 0
状态方程：ρ=常数；ρ=f (p)；ρ=f (p,T)
第4章 旋涡理论和势流理论
诱导速度场 — 台风外围的流场 直角 坐标
y u x 2 x 2 y 2 x u y 2 2 2 x y
极坐标
ur 0 u 2 r
第4章 旋涡理论和势流理论
线变形速度：
u x xy x x ( x 2 y 2 ) 2 xy u y y y ( x2 y 2 )2
duz uz u 2 ( ) 2(u yx ux y ) dt t z 2
矢量式：
du u u2 ( ) 2u dt t 2
u u2 1 ( ) p f 2u t 2
第4章 旋涡理论和势流理论
4.4 欧拉积分和伯努利积分
第4章 旋涡理论和势流理论
加速度在x方向上的分量：
dux ux ux ux ux ax ux uy uz dt t x y z
对微元体应用牛顿第二定律：F ma 在x方向上：
xyz
max Fx
du x p f x xyz xyz dt x
u2 p 可得： S ( 2 U ) 0,
u2 p U 2
在同一条流线上与 空间点位置无关
则在同一条流线上：
u2 p U 2
常数
伯努利积分方程
在重力场中：
U zg
p u2 z C1 (流线常数) g 2g
第4章 旋涡理论和势流理论
在点(1,2)处的线变形速度、剪变形速度以及平均 旋转角速度。
[解] 平面流场，uz=0,，线变形速度为：
u x x 2 xy 2 1 2 4 x u y y 2 xy 2 1 2 4 y
线变形速度为：
z (
1 u y u x 1 ) [(2 x y 2 ) ( x 2 2 y )] 2 x y 2 1 1 3 ( x y )( x y 2) (1 2)(1 2 2) 2 2 2
4.4.2 两种积分的物理意义及应用
欧拉积分方程 伯努利积分方程
例4-1~3
伯努利方程
理想流体，定常、无旋流动：
单位质量流体的总能量在整个流场中处处相等！
有旋流动：
单位质量流体的总能量仅沿同一条流线守恒！
使用伯努利方程时注意区分：
理想非理想，定常非定常，有旋无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
2 2 2 2 u x y y , u x y x ，求此流场 [例]平面流场， x y
令
x, y, z 0 ，整理可得：
ux u u u 1 p ux x u y x uz x f x t x y z x u y u u u 1 p ux y u y y uz y f y t x y z y uz u u u 1 p ux z u y z uz z f z t x y z z
亥姆霍兹速度分解定理
4.1.1 线变形速度
单位长度在单位时间内长度的改变量 ε 三维流体微团
u x u x ( x , y , z , t ) u y u y ( x , y , z , t ) u z u z ( x , y , z , t )
u x x x u y y y u z x z
标量式：
u2 p x ( 2 U ) 0 u2 p ( U ) 0 y 2 u2 p ( U ) 0 z 2
u2 p U 2
与空间坐标无关 常数
u2 p U 2
欧拉积分方程
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 旋涡理论和势流理论
第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动
第4章 旋涡理论和势流理论
4.1 流体微团的运动分析
流体微团的运动： 平动+旋转+变形（线变形，角变形）
下标—剪切变形作用面法线方向
4.1.3 平均旋转角速度
流体微团中过同一点若干条直线旋转的平均值 ω
第4章 旋涡理论和势流理论
1 u z u y ) x ( 2 y z 1 u x u z ( ) y 2 z x 1 u y u x ( ) z 2 x y
刚体，运动无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
4.3 理想流体运动微分方程
牛顿第二定律在理想流体中的应用。
4.3.1 欧拉运动微分方程
质量力+表面力=作用于流体上的力，取微元体 以x方向上的受力为例： 质量力： f x xyz 表面力：
p xy z x
微元体的质量： m xyz
第4章 旋涡理论和势流理论
4.2.1 圆周运动
台风、弯曲水路等，流线为同心圆 1.速度与矢径成正比 台风中心部分速度分布： 直角 坐标
u x 0 y u y 0 x
极坐标
u r 0 u r0
线变形速度：
u y ux x 0, y 0 x y
1 p du x f x dt x du y 1 p f y dt y du z 1 p f z dt z