V
( { })
* x
u = ∫ ε σdV = ∫ [B ] V V u
T
* 1 * 2
E [B ] δ x dV = ∫ δ
V
{ }
u1 E [B ] dV u 2
T
{ } [B]
* x T
T
E [B ] δ x dV
{ }
[K ]
(e)
1 0 AE = L − 1 0
0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
小结： （1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函 数或试探函数）出发，利用虚功原理导出了局 部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用 前一章的坐标变换矩阵[T]，就可以将它转换到 整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照 节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体 刚度矩阵。 （2）本章的方法具有一般性。 （3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有 关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位 移情况。
Fy(1e ) 0 0 v 1 = (e) Fy 2 0 0 v 2
下面建立 x 方向位移的插值函数。 设杆件内任意一点沿 x 的位移向量为
δ x = u = α1 + α 2 x
第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的 关系 由 x1 = 0, u = u1 ; x 2 = L, u = u 2 可写出
3 杆件结构的有限元法—虚功原理 直接刚度法：已知杆件刚度，利用位移和 力的关系，建立单元刚度矩阵。 不知道力——位移的关系，怎样求解？ 本章介绍一种更为一般的有限元求解力学 问题的方法：虚功原理推导杆单元刚度 矩阵。
这一方法分为6步。 第一步：建立局部坐标系，写出单元的位移向量 和节点力向量。
y
第四步：求应变—位移—节点位移的关系 单元内任意一点的应变可以通过对该点的位移的 微分得到，并最终表示为单元的节点位移
0 u1 α 1 1 du = α 2 = [0 1] = [0 1] ε x = dx − 1 L 1 L u 2 α 2
()
{ } 和{F } 的表达式合写在一起就是 {F }= [K ]{δ }
(e ) y
(e)
(e)
其中
{F }
(e)
Fx(1e ) (e) F y1 = (e) Fx 2 F (e) y2
{}
u1 v1 δ = u 2 v 2
v1
v2
u1 u2
o
1
x
2
局部坐标系下的节点力 和位移
节点的位移向量和力向量为
{ } [F ] { }
(e)
F1( e ) = (e) F2
Fx(1e ) (e) F y1 = (e) Fx 2 F (e) y2
u1 1 0 α 1 α 1 = α = [A]α 2 u 2 1 L 2
由此可得
0 u1 α 1 1 −1 u1 = [ A] = α 2 u 2 − 1 L 1 L u 2
{} [] { }
u1 δ 1 v1 δ = = δ 2 u 2 v 2
因为向量包含四个分量，所以单元刚度矩阵 K (e ) 应该是 4 × 4 阶的。
[ ]
第二步：选择适当的位移函数 单元内的位移函数，也称为插值函数或试探函数。 它应满足单元的边界条件。 一般常选择多项式作为位移函数。多项式的项数 与单元节点数和节点处的假设已知条件数有关。 因为杆单元沿 方向没有位移，也没有对应的 y 力，所以可以直接写出两者的关系为
Wext = δ
{ } {F } {δ }
* x T (e) x
* x
u * 1 = * u 2
{F }
(e) x
Fx(1e ) = (e) Fx 2
ε * ，则内应 设系统的初始内应力为0，虚应变为
力所做的功为
Win t
*
= ∫ [B ] δ
根据虚功原理 有*Fra bibliotekx TWin t = Wext
T
{δ } {F }= ∫ {δ } [B]
(e) x V * x
T
E [B ] δ x dV
{ }
两边消去 δ
(e) x
{F }= ∫ [B]
V
{ }
* x
T
T
E [B ] δ x dV = ∫ [B ] E [B ]dV δ x
T V
{ }
{ }
u1 u1 = [− 1 L 1 L ] = [B ] u 2 u 2
第五步：求应力—应变—节点位移间的关系
u1 u1 σ = Eε = E [B ] = E [− 1 L 1 L ] u 2 u 2
第六步：节点位移和节点力的关系 虚功原理：外力在虚位移上所做的功，等于内应 力在相应虚应变上所作的功。 外力在虚位移上所做的功为
即 其中
{F }= [K ]{δ }
(e) x (e) x x
[K ] = ∫ [B] E[B]dV = [B] E[B]∫ dV
(e) x T T V V
− 1 L EA 1 − 1 = E [− 1 L 1 L ]AL = L − 1 1 1L
将 Fx(e )