第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同.1. 基本概念与定理设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面.② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系.极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当X->X0 .v->yo()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \<s 成立注意定义中的(兀,y)是以任意方式趋于点(兀0*0)•连续旣= A (x o ,Vo )= lim 血牛匕血血,個定尸y°);A TT O/\x= /v (x o ,yo )= I- 5小+节)-/皿儿),(固込》。

) Ay->0 Ay二阶偏导数.类似,可定义三阶以上的偏导数._ 可微 若全增量A< = f(x 0 +心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记作dA. . =AAx + B^y定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) •偏导 高阶偏导—阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a?= /.u-UoO=£dydx空、 dx )定理2若两数z = /(x,.v)在点(x,y)可微 则必在该点连续.定理3若函数z = /(x,y)在点(")可微,则该函数在点(兀,y)的两个一 阶偏导数存在.定理4若函数z = /(x,y)在点(x,y)有一阶连续偏导数,则函数在该点 可微 且血=fx(x,力dx+ fy(x,y )dy③ 多元函数屮极限、连续、偏导数的运算法则、全微分形式的不变性、 初等函数的连续性、最大(小)值定理、介值定理均有与一元函数类似或 相应的性质.④ 方向导数 堂=恤mw+ △)•)-/(“)dl 0->()p(其中° = J (心尸+(△)¥)定理5若函数 S 在点P(A _y)可微,则函数/(x,.y)在该点沿任 —•方向7的方向导数为堂=型心° +型COS0dl dx彷其屮cos cos 0为i 的方向余弦.推广 若函数u = f (x, y,Z )在点M (x, y,z)叫微，则函数f(x f y,z)在该点 沿任一方向/的方向导数为df df df Q cf—=—cos a + — cos p + — cos / dl dx dy &其中COS Q, COS 0 , COS 了为7的方向余眩⑤ 梯度gradMx,沪 Z ； +冬了 = dx cy堂;•+堂八型2」堂，堂，堂Idx dy dz [6x dy 8z结论方向导数沿梯度方向収得最大值，最大值为梯度的模.2. 多元函数的求导运算多元复合函数求导① 若z = /(w, v),M =(p(x, y)9 V =y).则偏导数为：& dz du dz dv dz _ dz du dz dv dxdu dxdv dx ， dy du dydv cy② 若乙=f(x, )9, x =(p(t\ y = y/(t).则全导数为：dz dz dx dz dy dtdx dtdy dtS radf {w )=.dx肝 &③若2 = /(x, y, w, v), u =(p(x, y), v = ^(x, y).则偏导数为df ou of ov dz df of du cf dv辭善的区别.dxdu dx dv dx，dy dy du级dv dy各是在复合函数z = /[x, y,0(x,y),0(x,刃]中视y为常量，对x求导.CX耍是在四元函数z = /(x, y,w,v)屮视_y,s为常量，对x求导.dx各是在复合函数z = f[x,y,(p(x9 y)"(x, y)]屮视x为常量，对y求导.笑是在川元函数z = /(x,y,«,v)屮视兀s为常量，对y求导.隐函数求导①由方程F(x,.y, z)=()确定的隐函数乙=灾,刃满足隐函数定理的条件, 则6z 二Fx dz =F ydx F_ ' dy F.②由方程组[牛”沪:确定的隐函数"Z⑴,)，=回贝IJ方程两边分[G(x y” z) = 0别对兀求导，得到关于字，各的方程组，解出即可.高阶偏导仿一元函数的情况，按指定白变量逐阶求导.dx dx3.应用(1)几何应用[x =(p(t)①空间曲线r：＜y =在对应『0的点M (x0, y0,勺)处Z = co{t)的切线与法平面方程.切向量为T = 0(心),屮©0),少(『0)}切线方程±_乞=二＞=二£1必0)心0)必0)法平面方程0(6)0-％) +『(“))(y -)S)+ 必0)(Z - Zo) = 0②空间llh面S: F(x, y,z) = 0上点Mdo,儿,引)处的切平面与法线方程. 法向量为n = {化.(兀0貯0，勺)，心(兀0，沟山0)，&So*o，Zo)} 切平面方程F.Y (Xo*o ，Zo )(x-Xo )+ Fy(“o"o ，Zo )(y-yo )+ Fz (Xo ，yoMo )(z-Zo )= O兀_必 二 y -）sFx （Xo ，）'o ，Zo ） F ），（"），yo ，Zo ）耳（必，）'0，勺）对于曲面 Z = /（X, y ）,可表示为 F （x, y, z ） = f （x, y ） - z = 0 ・（2）函数极值定理6 （必要条件）设函数Z = f （x,y ）在点M （x （）,y 。

）有偏导数并取得极 值，则兀（x （）,yo ）= °，/卫0』0）= °・定理7 （充分条件）设函数"/（s ）在点MS 。

）某邻域内连续并有 一阶及二阶连续偏导数,且f x （x 0, >，0） = 0,,人（x 0, y （）） = 0. 记 f xx （x Ol y Q ） = A 1 A y （x o ,）?o ）= ^ 厶,Xo ，yo ）= C ，贝UA<0,有极大值.A>0,有极小值"当AC-B 2 <0 W ，无极值； 当AC —=0时・，情况不定. 多元函数的条件极值求函数“ =/（x,y,z ）在满足条件:0（兀,y,z ） =（）,0（x,y,z ） =（）卜的条件极 值.构造拉格朗日函数F （x, y, z ） = f （x, y, z ） + 入（pg y, z ） + p 屮（x, y, z ）Fx （x,y,z ） =（） Fy （x,y,z ） = 0F. （x, y, z ） = 0得可能极值点（x,） 口）.（pg y, z ） = 00（兀,y, z ） = 0再进一步讨论极值点的充分性.许多情况F“J 借助于问题的实际意义來判 定.二、例题解析1.多元函数的基本概念例8.1求下列各函数的定义域（1） z= Jx-Jy ; （2） z=ln （y-x ） + . =J\- x 2 - y 2z（3） u = arccos ..-分析 二元函数的定义域一般是平面区域，三元函数的定义域一般是空法线方程当兀-衣>0时，有极值，且解方程组间区域.这些点集可用使函数冇定义的自变量所应满足的不等式或不等式组表示.解（1）y>0且x-=lim --------[ = 為2 +历齐v 2_ Jxy + 4 lim ----- 2--------x->o xyy->0= lhn 4-(耳+ 4). :茂小(2 +Jxy + 4)即 X n & ,得 D=如,y)l y >(lx>y[y]*y -兀〉()， (2) - x>()1-x 2 -y 2 >0 to 得 £)= |[x,y)lx>0,y >x,x 2 +y 2 <1}・D = ^x,y,z)\z 2 <x 2 +y 2,x 2 + y 2 H O]解（方法一）令兀+ ―十”,则有 2故 /（兀,刃="（】_）'）（）心一1） i + y（方法二）因(y h -1)分析求多元国数的极限可利用多元西数的连续性及•元函数求极限 的一些方法.解（1）用函数的连续性.1 - xy _ 1-0 _j x2 + y 2 0 + 1（2）用一元函数求极限的方法（分了有理化）.(3) x 2 + y 2 *0且<1+ y 2例8.2设/x+ y,—I x 丿rfl 原式 f x + >•,— =x 2- y 2知 X )\2、2/r(l-v) 1 + v/ x + y,— =x 2 - y 2 = (x + y)(x-y) = (x +y)2.X)i-Z2 Xi +2X例8.3求下列各极限：（1） lim :卑；用宀『（3） lim Sin ^ -XT 2）T 0(2)(4)2_他 + 4limx->0 y->0v 1 - cos(x2+ y 2) lim-------------------- = 皿(H+b)严limXT O⑶用i 元函数的重要极限.r sin xyhm ------ - XT 2 yy->02 2例8.4证明极限lim—— 不存在. 加『2+(— y)2分析 因为二重极限lim 于(兀,刃存在，是指P(x,刃以任意方式趋 lx 。

y->y 0于户0(勺，沟)时，函数都无限接近菜常数A •所以，证明极限不存在，只要 P 以某一特殊方式趋于P 。

吋，函数不趋于某一•确定值;或以两种不同方式 趋于P ()时，函数趋于不同的值，便可断定函数的极限不存在.证(方法一) 若点P(x, y)沿直线y =兀趋于((),(»,则rx 2y 2 ]. x 4 ilim -------------------- = lim —- = 1 ； ；二° x 2 y 2 + G _ y) XT ()x 4若点P(x t y)沿直线y = 2x 趋于(0,0),则7 244】・厂歹4xlim ——— ----------- = lim —— --- - =0.牙2),2 +(开_『)2 x _>o 4%4 +x 2若点P(x, y)沿直线y = kx 趋于(0,0),贝U2 2lim *〉 -------------- = lim 9 4o oX 2y 2 +(兀_)')_ 兀4 +(]_鸟)2大2y-kx 丿k 厂=bm 小 ----------------- T ^k 2x 2 +(1 — 幻2所以极限不存在.例 8. 5 设 f(x 9 y)= x 2 + y 2 '0, x 2 + y 2 =0■证明/(兀,y)在((),())处不连续，但两个一阶偏导数存在. 证f (0,0) = 0,当(兀,y)沿直线y = kx 趋于(0,0)时・x = l ・ 2 = 2.XT 2)T O⑷limXT Ov->0 •• 1 一 cosk + y limA->0 y->0722sin 2 X +y 所以极限不存在.1, k = \ 0, k^\2+ y2怂2 LHm /(x, y) = lim ——— = —r 兀十0 X^()x2^k2x2] + «2y=kx当k取不同值时,极限值不同•故lim f(x, y)不存在•A->(),v->0所以/U,y)在(0,0)处不连续.但根据偏导数的定义知「“、r /(()+心,())-/((),()) r 0-0 八f x (0,0) = lim ---------------------------- = lim -------- = 0 ；A A—>()Ax A A—>o A JC人((),())=讪型出g型=聞□=().A)・T()Ay Av-»o Ay所以f(x,y)在(0,0)处两个一阶偏导数存在. 本例说明，对于多元函数，偏导数存在未必连续.例8.6证明：函数占宀严在(0,0)处连续，但两个一阶偏导数不存在.证因(0,0)在f(x,y)的定义域内，所以/(儿刃在(0,0)处连续.又因/(x,0) = 7?=lxl在x = 0处不可导，所以£(0,0)不存在;同样/(0,刃二7/日W在尸o处不可导,所以/；(0,0)不存在.例8.7设z = f(x t y) = /xy\，证明/(x, y)在(0,0)处一阶偏导数存在, 但不可微.分析要证函数/(x,刃在(0,0)处是否可微,只须检验极限：向土込竺空竺J是否为0,其中好皿丙而・QtO p若极限为o,则函数fa,刃在(o,o)处可微，否则不可微.证因 /(兀0) = 0, /(0,刃=(),由定义知f'x (0,0) =(),f； (0,0)=()但Az -[f^.(0,0)Av + f'y(0,0)Ay] _ Jl 2 01 _ I I Ax • Ay I_ P yj^x2 + Ay2 V (对 +(△)')?当(A.r, Ay) -> (0,0)时，上式极限不存在.(取路径Ay = k\x ) 因此,f(x,y)在((),())处不可微.2.多元函数微分法例8.8求下列函数的偏导数(1) z = (1 + xy)v； (2) u = x z ; (3) u =arctan(x-y)c.分析多元函数对其中一个变量求偏导时，只需将其余变量视为常量, 利用一元函数的求导公式或求导法则求导即可・解(1) — = y(1 + xy)V_1. v =2 (1 + xy)v_,.OX乞= J_R】n(My) =Rln(l+Q)in(l + Q)+ y._^dy dy 1 + xy詈二小十三卜三第1".⑶ 包=z(x _. ou_ = - z(x - y)曰.& 1 + (x - y)2z ，dy 1 + (x - y)2z ' du _ (x- y)z ln(x - y)&1 +(x- y)2z例 8. 9 设 /(兀,y)=兀 + (y -1) arcsin 卡,求 f x (x,l).分析 本题是求函数f(x,y)在点(x,l)处关于兀的偏导数，由定义知, 固定y = 1, /(x,l) = x,再对兀求导即可.解 因/(x,l) = x,所以 A (X,1) = 1.(2)设"丄f5) + w(x + y)J,0具有二阶连续导数,求龚.(98年 x dxdy考研题)V =x(x_l)严; y 丿 =xy x 1 In y+ y x • —= y x 1 (xln y + 1)ydy\ <dx例—〜求寮a 2zdxdyCX a 2一axy.•In 2 y,In ”dxdy(1)心+y解⑴因为亠-卜小； 去2(”+严卜(兀2+八必T2yW+* r-——-_______ 2社 +y x 2 + y 2dx dy⑵因为—=yz-x 3，z -1 ； — = x yz \nx-z ； — = x yz -\nx y dxdy dz所以 du =^-dx + — dy + ^-dz = yzx - ox dy dz3多元复合函数求导例8. 12求下列函数的偏导数或全导数.z = u 2 In v, w = —, v = 3x- 2y,求Z = arcsin(^ 一 刃，x = 3人 y = 4厂'，求所以/+y2 产dz dz dx dy dz~dt'多元复合函数求导时,先画出复合线路图,再按图写出求导公 分析 式.这种方法对复杂的复合情形尤为冇利.解(1)乞二皂色+茎空dx du dx dv dx =2w In v • - + —-3y vT3x 2oz du oz dv ci——= --------- 1 -------- -- 2u In i 八 dy cu dy dv dy 2x 2=-一ln(3x-2y)- 、严 2x 22+ -•(-2)Vy 3Qx-2y)y 2 dz dz dx dz dy "I"dt dx dt dy dt 1 - (x- y)2 3(1-4/2)•vc_1 dx + z ・ x K In xdy + y-x yz In xdz.=,・3•12/2例8.13设/具有一阶连续偏导,u = f(x+ du du dx dy 说明抽象函数求偏导时一定要设中间变量.2,/ =严.则 “ =/($,/) •空二型・2尤+笑•严•)， dx ds dt¥ 二学•(_2y) + £ •八• x = -2yf { + xe xyf 2. dy os dt 例8. 14设/具有二阶连续偏导数，z = f[xy^ 求与，龚，学.dx 2 dxdy 労2 分析求多元函数的高阶偏导数，关键在于牢记多元复合函数的各阶 偏导数仍是与原來函数同类型的函数，即以原中间变量为中间变量，原自 变量为自变量的多元复合函数•高阶偏导数可采川简便记法，如/；丿2分别 表示/对第一、第二屮间变量的偏导数，齐；表示/先对第一、再对第二 中间变量的二阶混合偏导数•当高阶偏导数区续时，应将混合偏导数并项.解令 u = xy,v =—,则 z=f(","). y& df du df cv 、 • 1 T" = 7_~ + ^_~ = /i ・)' + /2 •一•ox du ex dv ox ydz df du df dv‘‘ 了—= ---- ----- + ---- --- = ti•兀 + ---- ・一dy ou dy ov dy d 2z _ dd x 2 6xy du dx dv dx ) J \1 /+ —\ )丿a 亠" 亠” 1 亠N=y^fw + 2/12 +—A?-yd 2z 8 ( ‘ 1 • 1• s一殍¥a/-¥ 2 ++- F <§&<§¥■ $ •i 令一65^一&- =解加一去aw¥y) X2 /可2=y ----------- 1 -------------dx y dx/ 1 J y ・./1 + —・ /? l ydu dfi dv^\ 1 (6f°du df^ 8 J ・ —+ , 1.・ — + —・ L ・ —+・■・ —= y-dx dv dx = y\f\\ -y + /i2 -I* e« V亦I 小丄髮y 3■77^ =—I y' fi + y A I = ./1 + y • —du dv)! dy dv dy IrI iie«Y=/l +.V-| /ii 'x-f\2 .尹dxdy dydv= /；+『• ◎丿\-丄兀+丄 厂 y例& 15设z = f(u,x,y\u=xe y ,其屮/具有二阶连续偏导，求丄宁 dxcy 分析对抽象的多元复合函数求二阶偏导，首先要搞清楚函数的结构. 解乞=型.包+堂訪2+/;dx du dx dx d 2z d 4隐函数求导对隐函数求导时，首先要根据题目中要求对哪些变最求导，确定哪些 是自变量，哪些变量函数.例 8. 16 设 x = cos(x 2 +)z),求—.dz分析 由题冃耍求知，方程确定隐函数y = y(x,z),即y 是“的函数. 解(方« 1 I «tY•«=/i — fi + xyfi i — y y d 2z d ( ” X -r筋亠 2x ，xdf 2= A-"7- + —f/2- —•— dyy L dy何2ou df 2 那' (dudy dv dy 丿y 丿2x ■ x~3 ■」2 2y y du dfi dv 、—+ - --- + dy dv dy 丿 、 x 、、 2x • x - x-y2x 2 丿y 八 i r h LX f f 2x /=x~ ' fw ----------- -./12 +盲./22 + 飞./2・y y+丄•讣()， y 丿 1 、 +—)'/),2Jr常见错解 .“dx 2 讥一d 2z d乔'fl =/l“ X ， 2x ，、X ' f\ --------- -fl =飞./2・叭 ),2丿y3错课的原因是把认为常量. ・ ・dxcy dy dy dy= "•/]' +" •(/]； -xe y +f[3) + (f2i'xe y +/；3) ="• f} + x/y - /1"1 + " • f ；3 + x" -/21 + f ；3・法一)(两边求导法)方程两边对Z求偏导，得Z r 、2O = -sin(x~+yz)・ y + z・z 2(方法二)等式两边对兀求偏导，得& z~ x ・— _____ dx y dxz 2 Z _y '等式两边对y 求偏导，得&——y - Zx dz y dy■ ■ ♦ ・ ・ ■• ・ Iz 2 dy z y 2 …dy y(x + z) (方法三)原方程化为x = z(nz-\n y), 令 F(x. y. z)= x- z(ln z-ln y).则 &=_£L = _______ 1dxF '-ln--ll + ln- 1+兰兀+zy y 乙z z zdz _ Fy yy所以 空-匚& Z(方法二)(公式法)设 F (x, y, z) = cos(x 2 + yz) 一 x =().F y =-sin(x 2 +yz)•乙 F z =-sin(x 2 +yz)・y ・ 所以^ = -^ = -2.&FyZ例 8.17 设- = ln-, —•zydx dy解（方法一） 设 F(x, y 9 z) = —-In —z y所以F =- 1XZ zX 1兀+ z1z<. ________z 1 1& Fy◎ F zx + z y(x + z) 得J 亠 dx x + z労Fz—In —— 1 l + ln- y(x+z)，y y注用隐函数求导公式求心吋，要视)，,Z 为常数，同样求Fy,耳吋，要分 别把及兀,y 看成常数.而在等式两边对X 或歹求偏导吋(方法二)，应视 Z 为兀,)，的函数，不能把Z 看成常数.例 8. 18 设 - 3xyz = a 3,求-_—.dxdy分析 求隐函数的高阶偏数，一般都用隐函数求导公式求一阶偏导数， 再用复合函数求导法求二阶及二阶以上的偏导数.解 设 F (x,y,z)=z 3 - 3xyz-a 3,则有F x = -3yz,= -3xz , F. =3z 2 - 3xy ・& 仁 -3yz yz-- = ----- —= --------- - --- = ---- - --- dr F z 3z 2 -3xy z 2 - xy_ z(* _2供2_乳2)，2)~ (X -屛 例 8.19 设兀=x(y 9 z), y = y(x, z), z = z(x, y)都是由方程 F(x, y, z) = 0 所 确定的具有连续偏导数的函数，证明：dx dy & dy dz dx注 偏导数字，叟，事均是一个整体记号，不能看作分了与分母Z 商. dxcz dy例8.20设＜D(w ,v)具有连续偏导数，证明由方程O(cx-6fz,cy-te) = 0 所确定的函数 z = f(x,y)满足方程 a\ + bj = c. dx dy 分析 将①看成以JV,”Z 为白变量的复合函数，中间变量为 u=cx-az i v =cy-bz,由复合函数求导法则求出①「①y ，①：；再由隐函数求d 2z dxdy证 所以因竺=_冬，空―竺，更=_2 dy Fx & F y dxb z(z + y •导公式求出各，各.ox dy解 O(n, v) = (), u =cx- az, v = cy - b 乙.不6①①v =—6① dv . « , . • + ------------------- = -dQ>[ _/xD”dz 12cO]c ① i0)dy 典a (^\ +Z?O 2亦 I、I亞 弧 ac (i>\ +bcd>2〃「以 ci — + b — = -------- : ------- - = c ・CX dy Cl ① I +b ① 2例8. 21求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.2 2 Z = x + y 求 dy dz F +2y2 +3乙 2 =20 dx ' dxZ = xf(X ^yl ，其小f,F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求各.dxKg + j)其小仁&具有一阶连续偏导数, v = g(u-x.v y)p. du dv求杰'乔分析由三个变最两个方程所构成的方程组，一般确定两个一元函数，即 其小两个变量是第三个变量的一元函数，如(1)、(2),空,生可通过解关 dx dx 于空，冬的线性方程组完成.由四个变冕两个方程所构成的方程组,一般 dxdx确定两个二元函数，即其中两个变量确定为另两个变量的二元函数，如(3), —可通过解关于空，空的线性方程组完成.dx dx dx dx解(1)此方程纽可确定两个一元隐函数y = y(x\ z = z(x).方程两边对兀求导，得=c ①］； =c ①2；&x ①w— a ①j — b ①2 a ①)+ b ①? g ； ⑵设在丿=2y 2y(2)整理得解得dz 。