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函数及函数的零点有关概念
函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在
集合 B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x) ，
x∈ A．其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集
3) 利用函数单调性解不等式，比较大小，求参数的值或取值范围及最值问题
1. ( 比较大小 )
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2.( 最值 ) 3.( 参数范围问题 ) 4.( 解不等式 ) 4) 抽象函数的单调性 5). 函数单调性的常用结论：
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1、若 f ( x), g( x) 均为某区间上的增（减）函数，则 f ( x) g( x) 在这个区间上也为增（减）函数
(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 指数为零底不可以等于零。
(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的
. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的
x 的值组成的
集合即交集 .(7) 三角函数正切函数 y tan x 中 x k
(k Z). 2
(8) 实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义
(B) 图象法 ( 从图象上看升降 )
(C) 复合函数的单调性
复合函数 f [ g(x) ] 的单调性与构成它的函数 u=g(x) ， y=f(u) 的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集
.
(D) 导数法
2) 函数的单调区间
2、若 f ( x) 为增（减）函数，则 f ( x) 为减（增）函数
3、若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同，则 y f [ g( x)] 是增函数；若 f (x) 与 g (x) 的单调性不同，则 y f [ g ( x)] 是
减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
, 还要保证实际问题或几何问题有意义 .
(9) 以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为
R.
1.2 复合函数定义域的求法：
复合函数：如果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为 f 、 g 的复合函数。
(1) 已知 f(x) 的定义域是 [a,b], 求 f[g(x)] 的定义域，是指满足 a g (x) b 的 x 的取值范围；
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
( 二 ) 函数的奇偶性（整体性质）：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对
称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在
x＝ 0 处有定义，则一定有 f(0) ＝ 0，偶函数一定有 f(|x|)
(2) 已知 f[g(x)] 的定义域是 [a,b], 求 f(x) 的定义域，是指在 x [ a,b ] 的条件下，求 g(x) 的值域；
(3) 已知 f[g(x)] 的定义域是 [a,b], 求 f[h(x)] 的定义域， 是指在 x [a ,b] 的条件下， 求 g(x) 的值域 ,g(x) 的值
＝ f(x) ”在解题中的应用．
1) 函数奇偶性的判断
1.1 一般函数奇偶性的判断
合 {f(x)| x ∈ A } 叫做函数的值域．
要点一：函数三要素及分段函数
( 一 ) 函数三要素
1. 定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。
1.1 求函数的定义域时从以下几个方面入手：
(1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零；
域就是 h(x) 的值域 , 再由 h(x) 的范围解出 x 即可。 2). 求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3). 值域 : 先考虑其定义域 3.1 求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性 法； 9、不等式法； 10、几何法； 3.2 分段函数的值域是各段的并集 3.3 复合函数的值域
Hale Waihona Puke x 2，当 x1<x2 时，都有 f(x 1)<f(x 2) ，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数 . 区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间。
等价定义：设 x1 x2 a,b , x1 x2 那么：
(x1 x2) f ( x1) f ( x2 ) 0
f ( x1) f ( x2 ) 0 x1 x2
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( 二 ) 分段函数问题
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1：已知定义域求值域问题 ( 代入法 )
2：已知定义域求值域问题 ( 代入法 )
3. 分段函数解析式的求法
要点 2．函数的性质
( 一 ) 函数的单调性 ( 局部性质 ) ：
1). 函数单调性的判定
(A) 定义法：定义 1：设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，
f ( x)在 a,b 上是增函数；
(x1 x2) f ( x1) f ( x2 ) 0
f (x1) f ( x2 ) 0 x1 x2
f ( x)在 a,b 上是减函数 .
定义 2．设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f ( x) 为增函数；如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减
函数 . (B) 图象法 ( 从图象上看升降 ) 2. 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：
○1 任取 x 1， x 2∈ D，且 x1<x 2； ○2 作差 f(x 1) －f(x 2) ； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；
○4 定号（即判断差 f(x 1) －f(x 2) 的正负）； ○5 下结论（指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性）．