函数的零点与方程的解教学讲义必备知识·探新知基础知识知识点1 函数的零点(1)函数f (x )的零点是使f (x )＝0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．思考1：(1)函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )＝0根的个数有什么关系？ 提示：(1)不是，是使f (x )＝0的实数x ，是方程f (x )＝0的根． (2)相等．知识点2 函数的零点存在定理(1)条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是__连续不断的曲线__，f (a )f (b )<0；(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．思考2：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．(2)不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1,1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0.基础自测1．函数f (x )＝4x －6的零点是( C ) A ．23B ．(32，0)C ．32D ．－32[解析] 令4x －6＝0，得x ＝32，∴函数f (x )＝4x －6的零点是32.2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] f (1)＝－1＋log 21＝－1，f (2)＝log 22＝1，∴f (1)·f (2)<0，故选B ． 3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( B ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1D ．a ≥1[解析] 函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋a ＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a ＜0，得a ＞1.4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数有__2__个零点．[解析] 令ax 2＋bx ＋c ＝0，Δ＝b 2－4ac ，∵a ·c <0，∴b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等实根，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ·c <0)有2个零点． 5．求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2－5x －6； (2)f (x )＝x 3－7x ＋6； (3)f (x )＝(12)x －4；(4)f (x )＝ln x －1.[解析] (1)令x 2－5x －6＝0，得(x －6)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝6，∴函数f (x )的零点为－1,6. (2)令x 3－7x ＋6＝0，得x 3－x －6x ＋6＝0， ∴x (x ＋1)(x －1)－6(x －1)＝0，∴(x －1)(x 2＋x －6)＝0，∴(x －1)(x ＋3)(x －2)＝0， ∴x 1＝－3，x 2＝1，x 3＝2. ∴函数f (x )的零点为－3,1,2.(3)令(12)x －4＝0，得(12)x ＝4，∴x ＝－2.∴函数f (x )的零点为－2.(4)令ln x －1＝0，得ln x ＝1，∴x ＝e. ∴函数f (x )的零点为e.关键能力·攻重难题型探究题型一求函数的零点(方程的根)例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝(x－1)(x2－4x＋3)x－3；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．[分析]求函数的零点，就是求相应方程的实数根．[解析](1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.(2)令(x－1)(x2－4x＋3)x－3＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.[归纳提升] 1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【对点练习】❶(1)求下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为__3，－1__；②g(x)＝lg x＋2零点为__1100__.(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__－6__.[解析](1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，②由lg x ＋2＝0得，lg x ＝－2，∴x ＝1100.故g (x )的零点为1100.(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0f (4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －4＝016a ＋4b －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，∴f (1)＝a ＋b －4＝－6. 题型二 判断零点所在的区间例2 (2020·江西宜丰中学高一期末测试)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间． [解析] f (1)＝1－9＝－8<0， f (2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0， f (3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，∴f (2)·f (3)<0，∴函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)． [归纳提升] 判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 【对点练习】❷ 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( C ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] f (－2)＝e －2－2－2＝e －2－4＝1e 2－4<0，f (－1)＝e －1－1－2＝1e －3<0，f (0)＝e 0－2＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，∴f (0)·f (1)<0，∴函数f (x )的零点所在的一个区间为(0,1)． 题型三 函数零点个数的判断例3 函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则( C ) A ．x 1<2,2<x 2<5B ．x 1>2且x 2>5C ．x 1<2，x 2>5D ．2<x 1<5，x 2>5[分析] f (x )的图象是由g (x )＝(x －2)(x －5)的图象向下平移1个单位得到的，由g (x )的零点可判断x 1，x 2的取值范围．[解析] 作出函数g (x )＝(x －2)(x －5)的图象如图，将y ＝g (x )的图象向下平移1个单位即得y ＝f (x )的图象，由图象易知x 1<2，x 2>5，故选C ．[归纳提升] 判断函数y ＝f (x )的零点的个数的方法(1)解方程法，方程f (x )＝0的实数根的个数就是函数f (x )的零点的个数． (2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．(3)如果函数图象易画出，则可依据图象与x 轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y ＝h (x )－g (x )的函数，可依据函数h (x )与g (x )的图象的交点的个数来判断函数y ＝h (x )－g (x )的零点的个数．【对点练习】❸ 若x 0是方程(12)x ＝x 13 的根，则x 0属于区间( C )A ．(23，1)B ．(12，23)C ．(13，12)D ．(0，13)[解析] 构造函数f (x )＝(12)x －x 13 ，则函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线，又f (0)＝(12)0－0＝1>0，f (13)＝(12)13 －(13)13 >0，f (12)＝(12)12 －(12)13 <0，f (23)＝(12)23 －(23)13 <0，f (1)＝12－1＝－12<0，结合选项，因为f (13)·f (12)<0， 故函数f (x )的零点所在的区间为(13，12)，即方程(12)x ＝x 13 的根x 0属于区间(13，12)．题型四 一元二次方程根的分布问题例4 (2020·天津市河西区高一期末测试)已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)若f (x )有且只有一个零点，求实数m 的值；(2)若f (x )有两个零点，且均比－1大，求m 的取值范围．[分析] (1)f (x )有且只有一个零点，即方程x 2＋2mx ＋3m ＋4＝0有两个相等实数根； (2)f (x )有两个零点，且均比－1大，即方程x 2＋2mx ＋3m ＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．[解析] (1)由题意可知方程x 2＋2mx ＋3m ＋4＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0， ∴m ＝－1或m ＝4.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0－m >－1f (－1)＝1＋m ＋4>0，解得－5<m <－1.∴实数m 的取值范围是(－5，－1)．[归纳提升] 解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．【对点练习】❹ 若方程kx 2－(2k ＋1)x －3＝0的两根x 1，x 2满足－1<x 1<1<x 2<3，求实数k 的取值范围．[解析] 函数f (x )＝kx 2－(2k ＋1)x －3的图象是连续曲线，则由题意可知f (－1)·f (1)<0且f (1)·f (3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(3k －2)(－k －4)<0，(－k －4)(3k －6)<0，解得k <－4或k >2.故实数k 的取值范围是{k |k <－4或k >2}．课堂检测·固双基1．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．2．(2019·广东省肇庆市模拟)“m <1”是“函数f (x )＝x 2＋x ＋m 有零点”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋x ＋m 有零点，∴方程x 2＋x ＋m ＝0有解，则Δ＝1－4m ≥0，解得m ≤14，由于m ≤14⇒m <1，m <1m ≤14，∴“m <1”是“函数f (x )＝x 2＋x ＋m 有零点”的必要不充分条件．3．(2020·天津和平区高一期中测试)函数f (x )＝2x ＋x 的零点所在的一个区间是( C ) A ．(1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(－2，－1)[解析] f (1)＝2＋1＝3>0， f (2)＝4＋2＝6>0， f (0)＝20＝1>0， f (－1)＝12－1＝－12<0，∴f (－1)·f (0)<0，故选C ．4．设函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在闭区间[a ，b ]内有__1__个根．[解析] 由f (a )·f (b )<0知f (x )＝0在[a ，b ]上至少有一个实数根，又f (x )在[a ，b ]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．5．函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点． [解析] 由题意知方程x 2－ax －b ＝0的两个根是2和3， ∴a ＝5，b ＝－6， ∴g (x )＝－6x 2－5x －1， 由－6x 2－5x －1＝0， 解得x 1＝－12，x 2＝－13.∴函数g (x )的零点是－12，－13.。