圆的方程【考纲要求】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程展开配方一般方程.【典型例题】类型一：圆的标准方程例1. 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.解析：设圆心为||3a a r a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，，()2226133111a a a a a ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭∴==或 ∴圆心为(3，1)(111，37)∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程. 举一反三：【变式1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A. 22(2)(1)1x y -+-=B.22(2)(1)1x y -++=C. 22(2)(1)1x y ++-=D. 22(3)(1)1x y -+-= 解析：依题意，设圆心坐标为(,1)a ，其中0a >，则有|43|15a -=，由此解得2a =，因此所求圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=，选A.类型二：圆的一般方程例2.求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D解得D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心D 的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得10r ==. 举一反三：【变式1】圆与y 轴相切，圆心P 在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为的方程。

【答案】：设圆方程为：222()()x a y b r -+-=∵且圆心(,)a b 在直线30x y -=上，∴3a b = ∵圆与y 轴相切，∴||3||r a b ==故圆方程为222(3)()9x b y b b -+-=，又因为直线y x =截圆得弦长为则有2229b +=，解得1b =± 故所求圆方程为：22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=。

【变式2】求经过点(1,2)M 、(3,4)N 且在x 轴上截得的弦长为6的圆C 的方程。

【答案】：方法一：设圆心(,)a b ，半径长r ，由垂径定理可以得到圆C 与x 轴两交点为(3,0)P a -、(3,0)Q a +, 由(1,2)M 、(3,4)N 得1MN k =且MN 的中点坐标(2,3)，则MN 的垂直平分线方程为3(2)y x -=--，PQ 的垂直平分线方程为x a =。

解方程组：⎩⎨⎧--=-=)2(3x y ax 得圆心(,5)C a a -.由||||CP CM =得22)5(3a -+=2-+-)3()1(2a a ，解出16a =-,24a =.当16a =-时，圆心1(6,11)C -,21130r =, 圆C 的方程为：22(6)(11)130x y ++-= 当24a =时，圆心2(4,1)C ,2210r =，圆C 的方程为22(4)(1)10x y -+-= 故所求圆的方程为：22(6)(11)130x y ++-= 或22(4)(1)10x y -+-=. 方法二：设所求圆为220x y Dx Ey F ++++=. 令0y =得20x Dx F ++=, 在x 轴上截得弦长为：12||6x x -==.将(1,2)M 、(3,4)N 代入圆方程可得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++=+++0364025430522F D F E D F E D ，解出⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=728111F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-==272212222F E D所求圆方程为228270x y x y +--+=或221222270x y x y ++-+=. 【变式3】根据下列条件分别写出圆的方程： (1)圆过三个点(2，2)，(5，3)，(6，0)； (2)圆过三个点)2,4(),1,1(),0,0(N M O .思路点拨：已知圆过三个点，且圆心、半径不明确，故可用一般方程来求解.解析：(1)设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴ 所求圆方程为：2282120x y x y +--+=； (2)设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x∵)2,4(),1,1(),0,0(N M O 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D . ∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x .542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-FD .得圆心坐标为(4，-3).总结升华：(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开； (2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单. 类型三：点与圆的位置关系例3.写出以点A(2，-3)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5，-7)，N(2，-1)与该圆的位置关系.【思路点拨】求点与圆之间的距离是关键.解析：圆的标准方程为()()222325x y -++=||5MA r ===，∴点M 在圆上； (||2NA r ==<，∴点N 在圆内.总结升华：判断点与圆的位置关系就是判断点到圆心的距离与半径的大小关系. 举一反三：【变式1】已知圆的方程为()()225610x y -+-=，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上、圆内还是圆外？解析：分别计算点到圆心的距离：||||||3CM CN CQ ====>==< 所以，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内. 类型四：与圆有关的轨迹问题【高清课堂：圆的方程405440 典型例题六】例4.已知点(10,0)Q ，点P 是圆2216x y +=上的动点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 【思路点拨】本题关键是找出点M 与点P 之间的联系（实际是坐标间的关系）． 解析：设11(,)P x y ，(,)M x y ，则111022x x y y +=⎧⎨=⎩，所以112102x x y y =-⎧⎨=⎩又因为点11(,)P x y 在圆上，所以221116x y += 即22(210)(2)16x y -+=，整理得22(5)4x y -+= 所以线段PQ 中点M 的轨迹方程为22(5)4x y -+=.例5.设定点M(-3，4)，动点N 在圆224x y +=运动，以OM 、ON 为两边作MONP ，求点P 的轨迹．【思路点拨】本题关键是找出点P 与定点M 及已知动点N 之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可．解析：如图所示，设(,)P x y ，00(,)N x y ，则线段OP 的中点坐标为(,)22x y ，线段MN 的中点坐标为0034(,)22x y -+.因为平行四边形的对角线互相平分，故0322x x -=，0422y y +=， 则有0034x x y y =+⎧⎨=-⎩，即(3,4)N x y +-.又点N 在圆224x y +=上， 故22(3)(4)4x y ++-=.因此，所求轨迹为圆：22(3)(4)4x y ++-=，但应除去两点912(,)55-和2128(,)55-. 总结升华：(1)如果动点(,)P x y 的轨迹依赖于另一动点(,)Q a b 的轨迹，而(,)Q a b 又在已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法)． (2)本题容易出现忽视两点912(,)55-和2128(,)55-，其原因是求出轨迹方程后没有验证，这两点与点M 、N 共线，不能构成平行四边形．避免出现此类错误的方法是验证满足轨迹方程的点是否都符合条件．举一反三：【变式1】已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向圆O 和圆'O 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是____________。