F
C
• 4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条 线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线段的两个端点共圆
• 若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、 C、D四点共圆
• 用反证法。 已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB， 〈A=〈D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：假设四点不在同一圆上， 作△ABC外接圆，则D点不在圆上，因二角共 用AB弧，则〈A≠<D， 与实际不符 所以只有D点在△ABC外接圆上， 故A、B、C、D四点共圆。...
• 5.同斜边的直角三角形的顶点共圆 • 如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、 C、D四点共圆. • .（2）如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共 圆. • 分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到 某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边 中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。
• 分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以 该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外 角等于内对角即可。由此，连接 EF 构成四 B 边形 EFCD 后，证明∠BFE = ∠D 即可。 证明: 连接 EF， ∵ 四边形 ABFE 是圆内接 四边形， ∴ ∠A + ∠BFE = 180°。 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A + ∠D = 180°。 ∴ ∠BFE = ∠D。 ∴ C、D、E、 F 四点共圆
1.若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆
• 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F， G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上
• 分析指导：利用 直角三角形斜边 的中点等于斜边 的一半，再利用 菱形的四边相等 即可证出。
• 四点共圆的证明 • 五个基本判断方法集结 • 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这 四个点共圆。 • 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为 180°），则这个四边形的四个点共圆。 • 3. 若一个四边形的外角等于它的内对角， 则这个四边形的四个点共圆。 • 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这 条线段的两端连线所夹的角相等，那么这 两个点和这条线的两个端点共圆。 • 5同斜边的直角三角形的顶点共圆。
A D
A C D
B
C
B
• 3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则 这个四边形的四个点共圆
• 若∠B=∠CDE，则A、B、 C、D四点共ABCD 是平行 四边形，过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分 别交于 E、F 点。求证: C、D、E、 F 四点 共圆。
A E D
2.若一个四边形的一组对角互补（和 为180°），则这个四边形的四个点 共圆
• 若 ∠A+∠C =180°或 ∠B+∠D =180°， 则点A、 B、C、D 四点共圆
• 已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B， C，D四点共圆
• 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆 外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结 DC’，根据圆内接四边形的性质得 ∠A+∠DC’B=180°， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类 似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。