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§3.2 对数与对数函数
3．2.1 对数及其运算(一)
一、基础过关
1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是 ( C ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 2．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是 ( C ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<4
3．方程2log 3x ＝1
4
的解是 ( A )
A ．x ＝19
B ．x ＝3
3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9
4．若log a 5
b ＝
c ，则下列关系式中正确的是 ( A ) A ．b ＝a 5c B ．b 5＝a c
＝5a c
D ．b ＝c 5a
5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －
12＝4
6．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝___3_____.
7．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－1
3
.
(2)已知6a
＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.
解:(1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝2－25＝5
82.②因为log x 3＝－13，所以x －13＝3，所以x ＝3－
3＝127
.
(2)①log 68＝a.②由6a ＝8得6a ＝23，即6a 3＝2，所以log 62＝a 3.③由6a 3＝2得23a ＝6，所以log 26＝3
a
.
8．求下列各式中x 的取值范围．(1)log (x －1)(x ＋2)；(2)log (x ＋3)(x ＋3)． 解:(1)由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2>0，x －1>0，
x －1≠1.
解得x>1且x≠2，故x 的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
(2)由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3>0
x ＋3≠1，解得x>－3且x≠－2.故x 的取值范围是(－3，－2)∪(－2，＋∞)．
二、能力提升
9．(12
)－1＋log 0.54的值为 ( C )
A ．6 B.72 C ．8 D.3
7
10．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n
的值是 ( C )
A ．15
B ．75
C ．45
D ．225
11．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a ＝____1
10
____.
12．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)22＋log 23＋32－log 39.
解:(1)10lg 3
－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9.(2)22＋log 23＋32－log 39＝22
×2log 23＋323log 39＝4×3＋99
＝12＋1＝13.
三、探究与拓展
13．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1
b
.
证明：令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t ＝a ，∴(a t )t ＝a ，则at 2＝a ，∴t 2＝1，t ＝±1.
当t ＝1时，a ＝b ，当t ＝－1时，a ＝1b ，∴a ＝b 或a ＝1
b
.。