＊Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ，Ｅ－ｍａｉｌ：ｂｅａｍｍｉｌｄ＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｍ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｅｖｅｒａｌ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ａｒｅ ｉｎｔｒｏ－ ｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｉｔ ｐｏｉｎｔｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｆａｉｌｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｐｅｃｉａｌ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｌａｃｋ ｏｆ ｔｈｅｏｒｙ ｓｕｐｐｏｒｔ ｏｒ ｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅａｒ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｍａｃｈｉｎｅｓ （ＣＭＭｓ）ｂｙ ｔｈｅ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ａ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｉｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ＣＭＭ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｉｔｈ ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓａｍｐｌｅ ｐｏｉｎｔｓ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｅｖａｌｕａｔｅｄ ｍｏｒｅ ｃｏｎ－ ｖｅｎｉｅｎｔｌｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｇｅａｒ ｐｒｏｆｉｌｅｓ ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｔａｂｌｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍａｘｉｍａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ０．０３μｍ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｉｓ ０．９６μｍ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｓｕｇｇｅｓｔｓ ｔｈａｔ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｓｕｐｐｏｒｔ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｃａｎ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｃｏｍｍｏｎ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｎｏｔ ｂｅ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌ ＣＭＭｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｍａｃｈｉｎｅ（ＣＭＭ）；ｇｅａｒ ｐｒｏｆｉｌｅ；Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ；ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ
收 稿 日 期 ：２０１１－１２－０６；修 订 日 期 ：２０１２－０１－０８． 基 金 项 目 ：国 家 科 技 重 大 专 项 （高 档 数 控 机 床 与 基 础 制 造 装 备 ）资 助 项 目 （Ｎｏ．２０１０ＺＸ０４０１４－０９１）
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可以看出，蒙 特 卡 洛 法 依 赖 的 是 测 量 系 统 的 误差模型和误差 源 的 分 布 规 律，不 需 复 杂 的 解 析 计算。在系 统 模 型 和 误 差 传 递 关 系 复 杂 的 情 况 下，使用蒙特卡洛 法 仍 然 能 得 到 较 理 想 的 测 量 不 确定度评价。
交线。
烄ｘ＝ｒｂ［ｃｏｓ（ξ＋Λ＋θ）＋ξｓｉｎ（ξ＋Λ＋θ）］ ｙ＝ｒｂ［ｓｉｎ（ξ＋Λ＋θ）－ｃｏｓ（ξ＋Λ＋θ）］
用蒙特卡洛方法评定 ＣＭＭ 的测量不确定度 时的主要实施过程如图１所示。
图 １ 蒙 特 卡 洛 仿 真 方 法 的 实 施 Ｆｉｇ．１ Ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
首 先 ，对 系 统 的 所 有 输 入 误 差 源 ，按 照 其 概 律 分布及其所在的采样点信息进行大量随机抽样。 假设系统输 入 误 差 源 数 量 为 ｎ，每 个 误 差 源 按 其
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文 章 编 号 １００４－９２４Ｘ（２０１２）０４－０７６６－０６
三坐标机测量齿轮齿廓的不确定度评价
石照耀，张 宇＊ ，张 白
（北京工业大学 机械与应用电子技术学院，北京１００１２４）
摘要：介绍了坐标测量中几种常用的不确定度评价方法。指出 传 统 的 三 坐 标 测 量 机 的 测 量 不 确 定 度 评 价 方 法 大 都 不 适 用于评价坐标测量中面向对象的测量不确定度，并对使用蒙特卡洛方法评价测量不确定度进行了研究。 首 先，根 据 三 坐 标测量机详细标定文件及补偿策略说明建立测量模型。然后，将测量中的采样点通过测量模型生成大量 测 量 结 果，并 以 此评价测量不确定度。在齿廓评价实验中，评定齿廓误差的测量不确定度为０．９６μｍ 时，多次评价结果之间的最大差值 不超过０．０３μｍ，具有可靠的理论依据和较稳定的评定结果。文章指出，目前商用三坐标测量 机 大 都 不 能 为 特 定 的 测 量 对 象 提 供 测 量 不 确 定 度 报 告 ，使 用 蒙 特 卡 洛 方 法 有 希 望 改 变 此 现 状 。 关 键 词 ：坐 标 测 量 机 ；齿 轮 齿 廓 ；蒙 特 卡 洛 方 法 ；不 确 定 度 中 图 分 类 号 ：ＴＨ７２１；ＴＧ８６ 文 献 标 识 码 ：Ａ ｄｏｉ：１０．３７８８／ＯＰＥ．２０１２２００４．０７６６
解析法要求求解出原始误差源传播到最终 测量结果的灵敏 系 数，将 各 误 差 源 对 测 量 不 确 定 的影响合成。这就要求测量模型具有较好的线性 以及可 解 析 性。ＣＭＭ 的 测 量 不 确 定 度 来 源 多， 传 播 关 系 复 杂 ，使 得 解 析 法 很 难 有 效 的 实 施 。
统计方法虽然能提供比较可靠的评价结果， 但需要对被测量 进 行 大 量 的 反 复 测 量，用 大 量 测 量数据的离散程度来反映测量不确定度。这种方 法 需 要 耗 费 大 量 的 时 间 ，对 于 工 业 生 产 并 不 实 用 。
２ 不确定度评定中的蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方 法 是 一 种 针 对 待 求 问 题，根 据 对 象本身的统计规律或人为构造其合适的依赖随机 变量的概率模型，使 某 些 随 机 变 量 的 统 计 量 为 待 求问题的解，进行 大 统 计 量 （Ｎ → ∞ ）的 计 算 机 随 机模拟方法 。 ［８］ 应用在虚拟仿真测量时，首 先，要 构造测量中各误 差 源 的 概 率 模 型，并 使 测 量 结 果 成 为 待 求 的 解 ，然 后 ，通 过 多 次 仿 真 测 量 得 到 大 量 的 测 量 结 果 ，根 据 这 些 结 果 评 价 测 量 不 确 定 度 。
Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ＣＭＭ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｆｏｒ ｇｅａｒ ｐｒｏｆｉｌｅ
ＳＨＩ Ｚｈａｏ－ｙａｏ，ＺＨＡＮＧ Ｙｕ＊ ，ＺＨＡＮＧ Ｂａｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００１２４，Ｃｈｉｎａ）
专家判断 法 要 求 操 作 人 员 非 常 熟 悉 ＣＭＭ， 并对所需评价的 ＣＭＭ 测量方法和对象有着丰富 的经验。缺乏数 学 模 型 和 足 够 的 测 量 数 据 时，可 使用该 方 法。 该 方 法 过 分 依 赖 于 评 价 人 员 的 经 验 ，难 以 推 广 使 用 ，更 无 法 标 准 化 。
立虚拟 激 光 跟 踪 仪 模 型，取 得 了 很 好 的 效 果 。 ［６］ 日本东京大学用仿真方法评定了齿轮测量中心的 测量不确定度 。 ［７］
在测量不确定 的 评 定 中，计 算 机 仿 真 方 法 的 应 用 越 来 越 广 泛 ，也 更 加 规 范 化 ，逐 渐 成 为 一 些 复 杂测量仪器测量不确定度评价方法的发展趋势。 本文用蒙特卡洛 方 法 评 价 测 量 不 确 定 度，研 究 了 该方法的实施与 评 价 时 的 一 些 关 键 问 题，实 现 了 对 ＣＭＭ 测量齿轮齿廓偏差的不确定度评价。
计算机仿真法的主要思想是根据特定坐标测 量机中各误差源 向 最 终 被 测 量 的 传 播 关 系，建 立 测量系统模型；然 后 用 数 学 的 方 法 重 现 测 量 过 程 中误差 的 大 小 和 分 布 特 征。 将 各 误 差 源 输 入 模 型 ，可 得 到 测 量 结 果 并 计 算 出 不 确 定 度 。
烅ｚ＝
－ｒｂ·θ ｔａｎβ
． （１）
烆Ａ·ｘ＋Ｂ·ｙ＋Ｃ·ｚ＝ａ
如上式所示，前３个式子组成了斜齿轮单侧渐
开线螺旋 面 的 方 程，第 ４ 个 式 子 是 测 量 平 面 的 方
程。方程组确定的是测量平面倾斜时的采样路径。
３ 获取齿轮测量采样点
４ ＣＭＭ 的仿真模型
仿真测量时，由 于 不 同 位 置 引 入 的 误 差 大 小 不同，需要已知被测点在 ＣＭＭ 坐标系中的位置。 当实际测量采样 点 可 用 时，可 用 实 际 测 量 点 作 为 仿 真 的 采 样 点 ；当 缺 乏 实 际 测 量 数 据 时 ，可 以 使 用 理论坐标点。这里给出了利用几何模型计算采样 点的方法。
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概率个输出测 量 结 果ｙｉ～ｙｍ 。 仿 真 测 量 结 果 的 分 布较真实地反映 了 实 际 测 量 结 果 的 分 布 规 律，对 此统计分析，即可评价出测量不确定度 。 ［９］