源约束）。但需要注意的是：前一时期尚未使用的资金，可以 在下一时期使用（为了简化问题，不考虑资金可获得的利息）。 因此，每一时期的资金限制就表现为累计资金。表3-2显示了四 个时期三个项目所需累计资金和公司累计可用资金。
现在 一年后 两年后 三年后 收益
办公楼项目 40 100 190 200 500
3.2 成本收益平衡问题
例3.2 某航空公司正准备增加其中心机场的往来航班，因 此需要雇用更多的服务人员。不同时段有最少需求人数， 有5种排班方式（连续工作8个小时）。
时段 06:00～08:00 08:00～10:00 10:00～12:00 12:00～14:00 14:00～16:00 16:00～18:00 18:00～20:00 20:00～22:00 22:00～24:00 00:00～ 6:00 每人每天工资（元）
而对于成本收益平衡问题，管理层采取更为主动的姿态， 他们指明哪些收益必须实现（不管如何使用资源），并 且要以最低的成本实现所指明的收益。这样，通过指明 每种收益的最低可接受水平，以及实现这些收益的最小 成本，管理层期望获得成本和收益之间的适度平衡。因 此，成本收益平衡问题代表了一类线性规划问题。在这 类问题中，通过选择各种活动水平的组合，从而以最小 的成本来实现最低的可接受的各种收益水平。
max
z
9（ 0 xA1
xB1
xC1）
8（ 5 xA2
xB 2
xC 2）
6（ 5 xA3
xB3
xC
）
3
6（ 0 xA1
xA2
xA3） 3（ 5 xB1
xB 2
xB3） 3（ 0 xC1
xC 2
xC
）
3
xA1 xB1
xA2 xB 2
xA3 xB3
200 150
xC1
xA1
xC 2 xC 3 50%（xA1
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
解： （1）决策变量
本问题的难点在于给出的数据是非确定的数值，而 且各产品与原料的关系较为复杂。为了方便，设xij为原 料i（i=A，B，C）混合到产品j（j=1，2，3分别表示 甲、乙、丙）的数量。 （2）目标函数
本问题的目标是公司的总利润最大， 总利润＝产品销售收入－原料成本
3.2 成本收益平衡问题
成本收益平衡问题的共性是：所有的函数约束均为收 益约束，并具有如下形式：
完成的水平最低的可接受水平
如果将收益的含义扩大，可称以“”表示的函数约束 为“收益约束”。 在多数情况下，最低的可接受水平是作为一项政策由 管理层制订的，但有时这一数据也可能是由其他条件 决定。 成本收益平衡问题需要收集的三种数据：
纯成本收益平衡问题的共性是它所有的函数 约束均为收益约束（）
网络配送问题中，主要的函数约束为确定需 求约束（＝）
3.4 混合问题
但许多线性规划问题并不能直接归入三类中的 某一类，一些问题因其主要的函数约束与表38中的相应函数约束大致相同而勉强可以归入 某一类。而另一些问题却没有一类占主导地位 的函数约束从而不能归入前三类中的某一类。 因此，混合问题是第四类线性规划问题，这一 类型将包括所有未归入前述三类中的线性规划 问题。
（1）决策变量
本问题要做的决策是每个工厂运送多少个产品给每个顾客。 设：xij为从工厂i运送给顾客j的产品数量（i＝1,2; j=1,2,3)
（2）目标函数
公司的总运输成本最低 （3）约束条件
min z 700x11 900x12 800x13
① 工厂运送出去的产品数量等于其8产00量x21 900x22 700x23
工厂1 工厂2 订货量(个)
单位运输成本（元/个）
顾客1 顾客2 顾客3
700
900
800
800
900
700
10
8
9
产量（个）
12 15 27(产销平衡)
3.3 网络配送问题
解：本问题是运输问题，是典型的网络配送问题。由于“总 产量（27）＝总订货量（27）”，故该问题是一个产销平 衡的运输问题。
对于特定的数量 提供的数量=需求的数量
成本收益平衡问题 混合问题
网络配送问题 混合问题
注： LHS=左式（一个SUMPRODUCT函数） RHS=右式（一般为常数）
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
配料问题的一般提法是：生产某类由各种原料 混合而成的产品，如何在满足规定的质量标准 的条件下，使所用原料的总成本最低。 例3.4 某公司计划要用Ａ、Ｂ、C三种原料混 合调制出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产 品的规格要求和单价、原料供应量和单价等数 据如表3-9所示。问该公司应如何安排生产， 才能使总利润最大？
一些混合问题仅包含两类函数约束，而更多的 是包含三类函数约束。
3.4 混合问题
表3-8 各类函数约束
类型
资源 约束
形式
LHS RHS
解释
对于特定的资源 使用的数量 可用的数量
主要用于
资源分配问题 混合问题
收益 约束
确定需求 约束
LHS RHS
LHS = RHS
对于特定的收益
实现的水平 最低的可接受水平
例3.1 某公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前， 该公司有机会在三个建设项目中投资：
项目1：建造高层办公楼； 项目2：建造宾馆； 项目3：建造购物中心。 三个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预 付定金，以及一年、二年、三年后分别追加投资。表3-1显 示了四个时期三个项目所需资金。投资者可以按一定的比例 进行投资和获得相应比例的收益。
使用的资源数量 可用的资源数量
对于资源分配问题，有三种数据必须收集： （1）每种资源的可供量（可用的资源数量）； （2）每一种活动所需要的各种资源的数量，对于每一种资
源与活动的组合,必须首先估计出单位活动所消耗的资源量； （3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润）的单位贡献
（如单位利润）。
3.1 资源分配问题
宾馆项目 80 160 240 320 780
购物中心项目 90 140 160 230 600
可用资金 25 45 65 80
3.1 资源分配问题
例3.1的线性规划模型
max z 500x1 780x2 600x3
40x1 80x2 90x3 25
s.t.
119000
x1 x1
160 x2 240 x2
排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需求人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
3.2 成本收益平衡问题
解：本问题是排班问题，是典型的成本收益平衡问题。 （1）决策变量
确定不同排班的上班人数。 设：xi为排班i的上班人数 (i＝1,2,,5) （2）目标函数 每天的总成本（工资）最少。
② 顾客收到的产品数量等于其订货量
③ 非负
3.3 网络配送问题
例3.3的线性规划模型
min z 700x11 900x12 800x13
800x21 900x22 700x23
x11 x12 x13 12
x21
x22
x23
15
s.t.
x11 x12
x21 x22
10 8
max z 90(xA1 xB1 xC1) 85(xA2 xB2 xC2 ) 65(xA3 xB3 xC3) 60(xA1 xA2 xA3) 35(xB1 xB2 xB3) 30(xC1 xC2 xC3)
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
（3）约束条件 本问题的约束条件：原料供应量限制3个、规格要求7个和非负。
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
表3-9 例3.4配料问题的相关数据
产品甲
产品乙
产品丙
原料供应量 （千克）
原料单价 （元/千克）
原料A 50% 40% 30%
200
60
原料B
35% 45% 50%
原料C
不限 不限 20%
产品单价 （元/千克）
90 85 65
150 100
35
30
提供的数量＝需求的数量
3.3 网络配送问题
例3.3 某公司网络配送问题。某公司在两个工厂生产某种产 品。现在收到三个顾客下个月要购买这种产品的订单。这些 产品将被单独运送，表3-5显示了工厂运送一个产品给顾客 的成本。该表还给出了每个顾客的订货量和每个工厂的产量。 现在公司的物流经理要确定每个工厂需运送多少个产品给每 个顾客，才能使公司的总运输成本最小？
3.1 资源分配问题
解： 本问题是一个资源分配问题。 （1）决策变量
设：x1，x2，x3分别为公司在办公楼项目、宾馆项目、购物中心项目中的投资比 例 （2）目标函数 本问题的目标是公司所获得的总收益最大
max z 500x1 780x2 600x3
3.1 资源分配问题
（3）约束条件 本问题的约束条件是公司在各个时期可获得的资金限制（资
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第3章 线性规划的建模与应用
本章内容要点
线性规划问题的四种主要类型 资源分配问题的建模与应用 成本收益平衡问题的建模与应用 网络配送问题的建模与应用 混合问题的建模与应用
本章内容
3.1 资源分配问题 3.2 成本收益平衡问题 3.3 网络配送问题 3.4 混合问题
x13 xij
x23 0 （i
9
1,
2;
j
1, 2, 3）
3.3 网络配送问题