2014-2015(2)计算机与信息工程学院数值分析作业计科专业_______级_____班 姓名:___________学号:____________第一章 绪论 一、单项选择题1.用3.1415作为π 的近似值时具有（ ）位有效数字。

（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）62.已知数x 1=721 x 2=0.721 x 3=0.700 x 4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。

(A) 3，3，3，1 ( B) 3，3，3，3 (C) 3，3，1，1 ( D) 3，3，3，2 二、填空题1.在一些数值计算中,对数据只能取有限位表示,如2 1.414≈ ,这时所产生的误差称为_______误差.（填误差的类型）2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为_________以保证计算结果比较精确.3.在数值计算中，通常取e 2.71= ，此时产生的误差为_________误差（填误差的类型）.4.设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有_________位有效数字。

三、计算题1、（本题5分）试确定722作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。

第二章 插值法 一、单项选择题1. 通过点0011(x ,y ),(x ,y ) 的拉格朗日插值基函数01l (x),l (x)满足 ( ). (A ) 0011l (x )0,l (x )0== ( B) 0011l (x )1,l (x )1== (C )0011l (x )1,l (x )0== (D) 0011l (x )0,l (x )1==2.是给定的互异节点，是以它们为插值节点的插值多项式，则是一个( ).(A) n +1次多项式 (B) n 次多项式(C) 次数小于n 的多项式 (D) 次数不超过n 的多项式 二、填空题1. 设有节点012x ,x ,x ，其对应的函数=y f (x) 的值分别为012y ,y ,y ， 则二次拉格朗日插值基函数0l (x)___________= .2.已知2()1,=+f x x 则[1,2,3]____=f .2. 已知f (1)1,f (2)3,== 那么y f (x)=以1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为_________.3. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是 .4. 设2f (x)x = ，则f (x)关于节点012x 0,x 1,x 3=== 的二阶向前差分为___________.5. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 _____，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 ___；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 ___.6. 设20)2(,10)1(,0)0(===f f f ,则[]___,,=10f []___,2,1,0=f )(x f 的二次牛顿插值多项式为___________________________.7. 设)(x L n 为)(x f 的n 次拉格朗日插值多项式，则其插值余项为_________________.8. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---=_____. 9. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商123[,,,]___n n n n f x x x x +++=.10. 设()(0,1,2)j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则()j i l x =____________(,0,1,2)i j n =；0()nj j l x ==∑ 。

三、计算题 1（1）写出f (x) 的3次Lagrange 插值多项式3L (x) ； （2）写出f (x) 的3次Newton 插值多项式3N (x) .2. 已知-12 4 5-2 4 5 7 (1) 用拉格朗日插值法求的三次插值多项式；(2) 求x ， 使=0。

3. 给定数据,)(,)(,)(,)(143521100====y y y y 求三次拉格朗日插值多项式)(x L 3.4.已知函数()y f x =在如下节点处的函数值x-1 0 1 2 y143（1） 建立以上数据的差分表；（2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值；5.已知y=x ，0x =4，1x =9，用线性插值求7的近似值。

6.已知x1 2 3 4 F(x) 021512计算三阶差商f ［1,3,4,7］。

7.已知i x1 3 4 7 f(i x ) 021512求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。

8.设)(x f 为k 次多项式，n x x x x ,,,210为1+n 个互异点，)(x L n 为)(x f 的n 次插值多项式。

若n k <，试证)()(x f x L n ≡。

第三章 函数逼近于计算 一、填空题1.用二次多项式2012(x)a a x a x ,ϕ=++ 其中012a ,a ,a 是待定参数，拟合点1122n n (x ,y ),(x ,y ),,(x ,y ) ，那么参数012a ,a ,a 是使误差平方和____________________取最小值的解。

2.已知数据对=k k (x ,y )(k 1,2,,n) ,用直线y a bx =+拟合这n 个点,则参数a,b 满足的法方程组是__________________. 二、计算题1.已知一组实验数据如下i x 1 23 4 5 i f (x )44.5688.5求它的拟合曲线（直线）.2、已知一组试验数据如下i x 20 40 60 80 100 i f4.35 7.55 10.40 13.80 16.80求它的拟合曲线（直线）。

3．求32f (x)x =在[0,1]上求关于{}span 1,x φ=的一次最佳平方逼近多项式.4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。

x -1 0 1 2 y125()[]{}245.,111,f x x span x x ϕ=-=在，上求关于的最佳平方逼近。

6. 求x x f =)(在区间[1/4,1]上的关于权函数1=)(x ρ的一次最佳平方逼近多项式.7. 求353323-++=x x x x f )(在区间],[11-上的最佳二次逼近多项式. 8. 已知-2 -1 0 1 2 42135求的形如的二次拟合曲线，并求的近似值。

9.已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n =，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

10.用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 11.求3x f(x )=在[0，1]上的一次平方逼近多项式。

第四章 数值积分与数值微分 一、单项选择题1.已知求积公式21121f (x)dx f (1)Af ()f (2)636≈++⎰ ，则A =（ ）.16(A) 13(B) 12(C) 23(D)2.已知n 4= 时牛顿-科特斯求积公式，科特斯系数(4)(4)01716C ,C ,9045== (4)22C 15= ，那么(4)3C =（ ）. (A) 790 (B) 1645 (C) 215 (D) (4)3716239C 190451590=---=3. 已知节点k k (x ,y ),(k 0,1,2,,n),= 插值型两点求导公式是（ ）.1011y (x x )h '≈--(A) 1101y (x x )h '≈--(B) 1011y (y y )h '≈--(C) 1011y (y y )h'≈-(D) 4.求积分公式11f (x)dx f (1)f (1)-≈-+⎰ 是( )次代数精度.( A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题1.求积分公式10211123f (x)dx f ()f ()f ()343234≈-+⎰ 具有_____次代数精度.2.设求积公式nbk k ak 0f (x)dx A f (x )=≈∑⎰ ，若对_______________的多项式积分公式精确成立，而至少有一个m 1+ 次多项式不成立，则称该求积公式具有m 次代数精度.3.已知n 3= 时，科特斯系数(3)(3)(3)01213C ,C C 88=== ，那么(3)3C _____= . 4. 求初值问题00y f (x,y)y(x )y '=⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是k 1y +≈___________.5. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为 .6. 5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是 .7.1+n 个节点的Gauss 型求积公式具有______次的代数精度.8.为使求积公式1123133()()(0)()33f x dx A f A f A f -≈-++⎰的代数精度尽量高，应使1A =，2A =，3A =，此时公式具有 次的代数精度。

9.数值微分公式)(a f '≈hh a f h a f 2)()(--+的代数精度为_______.三、计算题1. 试用n 1,2,4=的牛顿-科特斯求积公式计算定积分101I dx 1x=+⎰ . 2.已知012113,,,424===x x x(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算120⎰x dx .3. 试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。

4.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.5.已知)(x f 的函数值如下：x1.82.0 2.2 2.4 2.6 )(x f 3.14.46.08.01.00用复合梯形公式和复合辛普森公式求dx x f ⎰6.28.1)(的近似值.6.已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.第五章 常微分方程数值解法一、单项选择题1.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是k 1p c 1y (y y )2+=+,那么p c y ,y 分别为( ).p k k k c k k 1p y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+⎧⎨=+⎩(A) p k k k c k k 1k y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+⎧⎨=+⎩(B)p k k 1k c k k p y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+⎧⎨=+⎩(C) p k k k c k k p y y f (x ,y )y y f (x ,y )=+⎧⎨=+⎩(D)2. 求解常微分方程的二阶R-K 方法的局部截断误差为( ). 1O(h )(A) 2O(h )(B) 3O(h )(C) 4O(h )(D).3.解微分方程初值问题的方法，（ ）的局部截断误差为)(3h O . (A) 欧拉法 (B) 改进欧拉法(C) 三阶龙格—库塔法 (D) 四阶龙格—库塔法 二、计算题1. 写出四阶经典龙格-库塔法求解初值问题y 83yy(0)2'=-⎧⎨=⎩的计算公式,并取步长h 0.2= ,计算y(0.4) 的近似值,小数点后至少保留4位.2.用Euler 方法求解初值问题'(0)0⎧=-⎨=⎩y x yy ，取0.1=h 在区间[0,0.3]计算,结果保留到小数点后4位.3.初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y 有精确bx ax x y +=221)(，试证明： 用Euler法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε 4.写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）⎩⎨⎧=+=1)0(')1y y x y ,10<<x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)0(13')2y x y y ,10<<x5.用改进欧拉法求解⎩⎨⎧=+=1)0('y yx y )10(≤≤x ，2.0=h ，取两位小数。