峰时，点B 恰为波谷.设波
速为10ms，1 试写出由A、
B发出的两列波传到点P 时
干涉的结果.
解
P
15 m 干涉情况决定于两波传播到p
点时的相差
A 20 m B
两波传播到p点时的相差为：
BA2πBP AP
因A为波峰时，B为波谷，所以有两波源的相 差为（设 A 的相位较 B 超前）：
ABπ
BP 152202 25
x(4,34)c, o2π sx0
动画演示
y (2Acos 2π x) cost (2Acos 2π x) cos(t π)
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成， 反射发生在两介质交界面上，在交界面处 出现波节还是波腹，取决于介质的性质.
介质分类
波疏介质,波密介质
44
(k 0,1,2， )
b 当 cos 2π x 1 时 A 2A 为波腹
x 2k
4
( 的偶数倍)
4
(k 0,1,2， )
结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大
波腹:
x
2k
4
(k 0,1,2， )
相邻波腹（节）间距 2
相邻波腹和波节间距 4
y
波腹
( 的偶数倍)
4
波节
同一点 ， = 常量，A=常量，与时间无关
不同点 ， 变化，A变化，决定于点（x,y,z)
形成稳定的振幅分布 ----波的干涉现象
讨论
A A12 A22 2A1A2 cos
位相差 决定了合振幅的大小.
干涉的位相差条件
当 2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大
Amax A1 A2 干涉加强
涉所合成波称为驻波
动画演示
2 条件 两列振幅相同的相干波异向传播 前进波 反射波
3 驻波的形成
动画演示
y 2A
a
t 0
b o
c
u xu
y
tT 4
u xu
y 2A
tT 2
u xu
y
波节：a、b 波幅：o、c
二 驻波方程
正向 y1Aco2sπ(tx) 负向 y2Aco2sπ(tx)
yy1y2
A co 2 π ( st x) A co 2 π ( st x)
动画演示
(1)相干条件 频率相同，振动方向相同，位相差恒定
(2)相干波 满足干涉条件的波称相干波.
(3)相干波源 产生相干波的波的波源称相干波源. 动画演示
(4)干涉现象的定量讨论
波源振动 y 1 A 1cot s1 )( 激发相干波
y 2 A 2cot s2 ) (
两波引起点P 的两个分振动
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2c os s 1
212πr2r1
s2
r1 *P r2
I A A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2c os 2
II1I22I1I2co s
212πr2r1
021常 数 时
s1 r1 *P
s2
r2
决定 r2r1 于 考察点，x设 y ,z,其
P
15 m
u100.10 100
A 20 m B
两波传播到p点时的相差为：
B A 2 π B A P P π 2 π 2 0 .1 1 5 5 2π 01
21010 π
所以干涉减弱，点P合振幅： AA1A2 0
三 驻波的产生
1 现象
驻波是特殊的干涉现象
当两列振幅相同、传播方向相反的相干波发生干
12.3.1 波的叠加原理
波传播的独立性：两列波在某区域相遇后 再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰.
波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动 为二波单独在该点引起的振动的合成.
动画演示
二 波的干涉
频率相同、振动 方向平行、相位相同 或相位差恒定的两列 波相遇时，使某些地 方振动始终加强，而 使另一些地方振动始 终减弱的现象，称为 波的干涉现象.
波长 ： 反射波在B点有半个波长损失 条件 ： A：垂直入射
B：从波密媒质(Z较大）反射回波蔬媒质
波阻抗： Z = u 折射：无半波损失
A
B
波蔬媒质
波密媒质Z较大
P 没有半
波损失
m
波密介质 波疏介质
2Aco2π s xco2π st
讨论
驻波方程 y2Aco2π sxco2π stA' cost
(1)振幅 2Acos2π x 随 x 而异,与时间无关
cos 2 π x
1 0
2πxkπ k0,1,2,
2πx(k1 2)π k0,1,2,
a 当 cos 2π x 0 时 A 0 为波节
x (2k 1) ( 的奇数倍)
当 2k 1π
合振幅最小
Amin A1 A2 干涉减弱
位相差
(2
2πr2
)
(1
2πr1
)
如果2 1即相干波源S1、S2同位相
则
2π
r1
r2
2π
r1 r2 称为波程差（波走过的路程之差）
2π
r1
r2
2π
2kπ (2k 1)π
加强 减弱
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉 的波程差条件，则有
3
5 x
4
4
4
4
振幅包络图
2
(2) 相位分布
y (2Acos 2π x) cos t Acos t
x(4,4)c, o2sπx0 动画演示
y (2Acos 2π x) cost
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
y
波腹
波节
3
5 x
4
4
442Fra biblioteky4
4
3
4
5
4
x
x(
,
),
44
y (2Acos 2π x) cost
波疏介质
波密介质
动画演示
波
波
疏
密
介
介
质
质
u
u
较
较
小
大
三 相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分
界处产生 π的相位跃变，相当于出现了半个
波长的波程差，称半波损失.
（2） 半波损失
B点为波节： 位相 ： 前进波波在B点有位相 的突变
干涉的波程差条件
当 r1 r2 k 时（半波长偶数倍）
合振幅最大
Amax A1 A2
当
r1
r2
(2k
1)
2
时（半波长奇数倍）
合振幅最小
Amin A1 A2
例 如图所示，A、B 两点
P
为同一介质中两相干波源. 15 m 其振幅皆为5 cm，频率皆 为100 Hz，但当点 A 为波 A 20 m B
y1PA1cost(12π r1) y2PA2cots(22πr2)
s1 s2
r1 *P r2
此两个分振动为简谐振动
点P 合振动：
y P y 1 P y 2 P A co t s)(
tanA A11csoins11( (22ππrr11)) A A22scions22((22ππrr21))