与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有
价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊 数学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描 述的模糊事物.
1.2
1.2.1
模糊性（模糊数学的基本概念）
模糊性的基本概念
模糊数学的发展
19世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和 数量关系的科学。 近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的 定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精 确的实验方法和精确的测量计算探索客观 世界的规律，建立严密的理论体系。
19世纪之后:数学是从量的侧面研究客观世界的一门学科。
2、数学发展的三个阶段
集合的基本概念
定义2-1 ：具有某种共同性质事物的全体称为集合， 而每一个个别事物称为该集合的“元素”。
说明:
（1）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于
世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的；
（2）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异，
即无重复性； （3）范围边界分明,即一个元素x要么属于集合 A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必 居其一；
随机性 状态属性确定 外在不确 定
3、模糊性与含混性
一个命题之所以是模糊的，原因在于所涉及的类本身 是模糊的。 一个含混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个 特定的目的只提供了不充分的信息。 一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上下文有
关，而模糊性却非如此。
1.3
模糊数学的应用
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济 的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地 质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广 泛而又成功的应用.
与模糊性易混淆的几个概念
1、模糊性与近似性
模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源
于认识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。
近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然
来源于对象自身固有的状态上的不确定性。它 仅是模糊现象中的一种。
2、模糊性与随机性
确定性（1） 模糊性 质不确定 确定性（2）服从性 内在不确 定 不服从 排中律 服从排 中律 信息观点 关系到信息的意 义 只涉及信息的量
参 考 书 目
模糊数学 刘应明,任平编 上海教育出版社出版 模糊数学教程 蒋译军编 国防出版社出版 医学信息分析方法 郭政，徐晶编 哈尔滨出版社 出版 医学数量分析 刘定远编 北医大，中国协和医大 出版

第一章
绪
论
1.1 模糊数学的发展 1.2 模糊性 1.3 模糊数学的应用
1.1
1、数学的定义

美国自动控制专家，美国工程科学院院士。 1921年2月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学 电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工 程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱 性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋 章。

1965年，扎德在《信息与控制》杂志第8 期上发表《模糊集》的论文,引起了各国数学 家和自动控制专家们的注意。他通过引进模 糊集（边界不明显的类）提供了一种分析复 杂系统的新方法。他提出用语言变量代替数 值变量来描述系统的行为，使人们找到了一 种处理不确定性的方法，并给出一种较好的 人类推理模式。20年来他所开创的模糊集领 域得到了迅速发展。
说明：凡Байду номын сангаас类属问题上能判断或是或非的对象， 就是清晰事物；凡在类属问题上只能区别成都
等级的对象，就是模糊事物。
状态 清晰事物 模糊事物 清晰的
类属
实例 相对的 绝对的
界限分明 行星，整数，鸡蛋
不清晰的 界限模糊 高山，优秀，胖子
注意：同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不 清晰的。
1.2.2
(1) 数学是关于数学几何图形的科学； (2) 数学是研究量的变化和几何图形变换的科学； (3) 数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空 间形式的科学。
即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。
现代数学分为三类：


基础数学（微积分）
应用数学（模糊数学） 计算数学
一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做
所周知，经典数学是以精确性为特征的.
未来数学将分为三大类：
第一代是经典数学， 第二代是统计数学， 第三代是模糊数学。
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
模糊集合
经典集合论概述 模糊集合概念 隶属函数的构造 模糊集合代数运算 截集 分解定理 模糊集合度量
2.1
2.1.1

经典集合论概述
一个命题，命题又分为真命题和假命题。
理发师悖论
一个理发师的招牌上写着：
理
发 师
悖
论
谁给这位理发师刮脸呢？
3、模糊数学的产生
（1）1874年德国数学家康托尔发表集合论文 （2）至今集合还没有一个精确的定义 （3）1965年扎德的《模糊集合》标志着模糊数学的诞生

扎德（Zadeh，L.A.；1921～ ）
例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自 动识别，癌细胞识别，白血球的识别与分类，机器人 控制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类 与评估、天气预报、气候模拟试验等等。 例如（社会科学中）模糊语言、模糊概念、对特 定的集体、个人在给定因素方面的评价、分 类、排序等等。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众
（4）我们研究的对象的范围叫论域，也叫全集，通 常用U表示，它本身是一种特殊的集合，他的选取一 般不唯一，应根据具体研究的需要而定。
（5）集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相
关的事物都可以是同一集合中的元素。

一个概念的形成大致需要经过两方面： 一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作 的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的“内 涵”。
清晰事物: 有些事物可以根据某种精确标准对他们进行界
限明确地认识，从而得出是否明确的断言，此类事物称
之为清晰事物。
清晰性：清晰事物具有的明确类属特性。
模糊事物：有些事物无法找出它们精确的分类标准，
这类事物的类属是逐步过渡的，即从属于某类事物
到不属于某类事物是逐渐变化的，不同类别之间不
存在截然分明的界限，这类事物称为模糊事物。 模糊性：事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。