三角函数要求层次重难点sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象和性质C了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法 函数sin()y A x ωϕ=+的图象C会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解决一些简单的实际问题 B 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心三角函数的定义域和值域B 掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质 C掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为sin()y A x ωϕ=+的三角函数的性质三角函数的图象和性质的应用C掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用三角函数的图象是高考的热点之一，重点考查已知图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题，多为中档题.板块一：三角函数的图象 高考要求第九讲三角函数的图像与性质知识精讲1.三角函数的图象2.函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象的作法――五点法①确定函数的最小正周期2πT ω=；②令x ωϕ+＝0、π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π((),1)2ϕω--、1((2π),0)ϕω-；③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．3.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x=的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1T叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或向变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x ω=的图象，其周期由2π变为2πω，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令yy A=，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．【说明】本题的所有变换都是针对x 和y 来的，也就是说所有的转换都是用在x 和y 身上的，他们的系数也不包括在内．例如()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，如果先把sin y x =各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）变成sin y x ω=，再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x ω=，而最后才所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位，这样得到就是sin ()y A x ωϕ=+，而不是sin()y A x ωϕ=+．希望大家能够从中理解“坐标变换是针对x 和y 做的” 这句话的意义．(二)典例分析【例1】 ⑴（2009年全国I ）如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4π3⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么ϕ的最小值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2 ⑵（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数3πcos ([0,2π])22x y x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象和直线12y =的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【例2】 函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如下图所示，则(1)(2)(3)f f f +++…(11) f=【例3】方程1sin22x=在[2π,2π]-内解的个数为．【例4】如图，方程sin2sinx x=在区间(0,2π)内解的个数是( ) A．1B．2C．3D．4【例5】⑴求方程lg sin0x x-=的解的个数；⑵求方程100sin x x=的解的个数．【例6】(2006年-辽宁)已知函数11()(sin cos)sin cos22f x x x x x=+--，求()f x的值域．【例7】 函数cos(sin )y x =的值域为_______【例8】 ⑴求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-，ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域．⑵求函数223sin sin y x x=+(π,)x k k ≠∈Z 的值域．【例9】 (1sin )(3sin )2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合【例10】 已知正弦曲线sin()(0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>><<上的一个最高点是(2,，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x 轴相交于点(6,0)，试求这个函数的解析式.【例11】 已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3π,2)x +-. ⑴求()f x 的解析式；⑵用列表作图的方法画出函数()y f x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.【例12】 如图，是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>，πϕ<的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式．【例13】 右图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02π)A ωϕ>><<的图象的一部分，试求此函数的解析式.【例14】 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式.【例15】 (2005年湖南高考)设函数()f x 的图象与直线x a =，x b =及x 轴围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在π0,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为2n ()n *∈N ， ⑴sin3y x =在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为 ；⑵sin(3π)1y x =-+在π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为 ． 【例16】 设π()sin (0)53kf x x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭⑴求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．⑵求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．【例17】 已知函数2sin sin 1y x a x =++的最小值为1，求a 的值.【例18】 求证：在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的实数对(,)c d ，π,0,2c d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c d <，使得sin(cos )c c =，cos(sin )d d =成立．【例19】 已知函数()b x a x x a x a x f ++⋅+=22cos 33cos sin 2sin 3⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πx 的值域为[23，-]，求a 、b 的值．【例20】 已知函数R ∈+⋅+=x x x x y ，1cos sin 23cos 212． （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例21】 已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）． （1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．板块二：三角函数图象变换(一）知识内容1．函数图象平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位 (0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折 ()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．1（二）典例分析【例22】 已知函数()sin f x x a =-，a ∈R⑴讨论函数()f x 的奇偶性⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.【例23】 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．在区间,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数【例24】 设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 为( )A ．周期函数，最小正周期为π3B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数【例25】 已知函数f (x )=A sin(ωx ＋φ)（200πϕω<>>，，A ）的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0，2）和（x 0＋3π，－2）． （1）求f (x )的解析式；（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的31，（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y =g (x )的图象．写出函数y =g (x )的解析式并用“五点法”画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．【例26】 (2005年湖北文)函数sin cos 1y x x =-的最小正周期与最大值的和为 ．【例27】 已知函数π()sin ()4f x a x a b ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z ，，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为1．⑴求()f x 的解析式；⑵由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．板块三：三角函数的性质（一）知识内容]2π,(21)π]()k k k +∈Z(2π,x k =（二）典例分析【例28】 求使1cos 1ax a+=-有意义的a 的取值范围.【例29】 当方程224sin 4sin 20x x k k +-+-=有解时，求k 的取值范围.【例30】 设f (x )满足ππ2(sin )3(sin )4sin cos ()44f x f x x x x -+=-≤≤，求()f x 的表达式.板块四：三角函数与二次函数典例分析【例31】 求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【例32】 求函数222cos sin y a x x =--的最大值与最小值.【例33】 求函数253sin cos 82y x a x a =++-π(0)2x ≤≤的最大值【例34】 为使方程2cos sin 0x x a -+=在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是( )A.11a -≤≤B.11a -<≤C.10a -<≤D.54a -≤【例35】 已知定义在(,4]-∞上的减函数()f x ，使得27(sin )(12cos )4f m x f m x -+-+≤，对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围 .【例36】 已知,b c 是实数，函数2()f x x bx c =++对任意,αβ∈R 有：①(sin )0f α≥②(2cos )0f β+≤⑴求(1)f 的值； ⑵证明：3c ≥；⑶设(sin )f α的最大值为 10，求()f x .（一）知识内容1.定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的数T ，使得当x 取定义域中的任意一个数时，()()f x T f x +=总成立，那么称()f x 是周期函数，T 称为这个函数的周期，如果函数()f x 的所有正周期总存在最小值0T ，则称0T 为这个函数的最小正周期.2.说明：周期函数的定义域是无界的；若T 是某函数的周期，则(,0)nT n n ∈≠N 均为此函数的周期；若函数()y f x =的最小正周期是T ，则函数()y f x ωϕ=+的最小正周期是Tω.3.对称轴为x a =的函数，对称中心为(,)a b 的函数的解析式问题函数()y f x =周期为T ⇔如果点(,)x y 在图象上，则(,)x T y +也在图象上⇔()()y f x f x T ==+推广：关于一般的轴对称：函数()y f x =关于直线x a =对称⇔如果点(,)x y 在图象上则它关于直线x a =的对称点(2,)a x y -也在图象上⇔()(2)y f x f a x ==-板块五：三角函数的周期性关于一般的中心对称：()y f x =关于点(,)a b 对称⇔如果点(,)x y 在图象上，则它关于点(,)a b 的对称点(2,2)a x b y --也在图象上⇔2()(2)b f x f a x -=-4.某个函数关于点对称或轴对称，周期的特点：⑴若定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =，x b =()a b >，则这个函数必定是周期函数，2()T a b =-是它的周期.证：[2()][(2)]f a b x f a a b x -+=+-+[(2)](2)f a a b x f b x =--+=- [()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=∴()f x 以2()a b -为周期⑵若函数()f x 在R 上的图象关于某点0(,)A a y 与某直线x b =()a b ≠对称，则此函数为周期函数，4T b a =-是它的周期.证：图象上任一点(,())x f x 关于点0(,)A a y 的对称点0(2,2())a x y f x --也在图象上，即有0(2)2()f a x y f x -=-，且()()f b x f b x -=+，则0()2(2)f x y f a x =-- 02[(2)]y f b b a x =---+02[(2)]y f b b a x =-+-+02(22)y f b a x =--+[2(22)]f a b a x =--+[(34)]f b b a x =--+[(34)]f b b a x =+-+[4()]f b a x =-+∴()f x 是以4()b a -为周期的函数（二）典例分析【例37】 ⑴设函数ππ()2sin()25f x x =+,若对任意x ∈R ,都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值( )A.4B.2C.1D.12⑵已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________.【例38】 已知函数2sin()y x ωϕ=+(0π)ϕ<<为偶函数，其图象与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，且12πx x -=，则( ) A.π2,2ωϕ==B.1π,22ωϕ==C.1π,24ωϕ==D.π2,4ωϕ== 【例39】 函数()f x ，当(,)x ∈-∞+∞时，(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.⑴试判断函数()f x 的奇偶性.⑵试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，证明你的结论.【例40】 设()f x 是定义在R 上并以2为周期的函数， 当[1,1]x ∈-时，2()f x x =.⑴求(1,3]x ∈时，()f x 的表达式；⑵作出()f x 的图象，并求(3)f -及(3.5)f 的值.【例41】 函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 .【例42】 函数21π5cos π36k y x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()k *∈N 对于任意实数a ，在区间[,3]a a +上的值54出现的次数习题1. 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）Ａ.π3 Ｂ.ππ2k k +∈Z ， Ｃ.πk k ∈Z ， Ｄ.π2π2k k -∈Z ，习题2. ⑴函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____________________.⑵函数sin y x =的一个单调增区间是( ) A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，家庭作业习题3. 已知函数()()cos ωϕ=+f x A x 的图象如图所示，π223⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ，则()0=f （ ）A.23-B.12-C.23D.12习题4. 求下列不等式x 的取值范围.⑴2sin 10x +≥；⑵π2cos(3)106x +-≤.习题5. 若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,02π)A ωϕ>><≤的图象上一个最高点的坐标为（，由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x 轴的交点为(4,0).求此函数的解析式.习题6. 把曲线π:2sin 24C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移(0)a a >个单位，得到的曲线G 关于直线π4x =对称.求a 的最小值.习题1. 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π[0,]2x ∈时，()sin f x x =，则5π()3f 的值为（ ） A . 12- B .3C .3-D .12习题2. 设()f x 是定义在R 上且最小正周期为3π2的函数，在某一周期内，πcos 2,0,2()sin ,0π,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤则()15π4f -= .习题3. 已知π4x ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值习题4. （2005山东卷）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩≥，若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A.1B.21,-C.2- D.21, 习题5. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意的1x ，2x 10,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且(1)0f a =>，⑴求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫⎪⎝⎭⑵证明()f x 是周期函数习题6. 关于x 的不等式222sin 2cos 2a a x a x +--≥的解集是全体实数，求实数a 的取值范围月测备选。