i
i
P{ X xi ,Y y j }= pij = p. j
i
i
( j 1, 2, )
为(X, Y)关于Y的边际分布列.
注 边际分布完全由联合分布唯一决定.
二维离散型随机变量的联合分布列和边际分布列也可列表 如下:
X Y y1
y2 … yj … P( X xi ) pi.
x1
p11 p12 ... p1j ...
例4 考虑伯努利试验序列，设其中每次试验成功的概率 为 p. 令X表示第一次成功之前的失败次数，Y表示前二次 成功之间的失败次数.求(X,Y)的联合分布列及边际分布列。
解 由题意可得(X,Y)的联合分布列为
P(X i,Y j) (1 p)i p (1 p) j p p2 (1 p)i j (i, j 0,1, 2, )
由此可得(X,Y)关于 X的边际分布为
pi p2 (1 p)i j j0 p2 (1 p)i 1 p(1 p)i (i 0,1, 2 ) 1 (1 p)
同理可得(X,Y)关于 Y 的边际分布为
p j p(1 p) j ( j 0,1, 2 )
三、边际密度函数
我们已知，边际分布函数可由(X, Y)的联合分布函数F(x,y)唯一 确定，即
1dy 1 x,
x
1
=
x 1dy
1
x,
0,
1 x 0
0 x1 其他
pY ( y)
p(
x,
y)dx
y
1dx 2 y,
y
0,
0 y1 其他
可以证明:
如果
( X ,Y )
~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
则必有
X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N (2 , 22 )
事实上，由
p( x, y)
则称 P{ X xi } P{X xi , Y y j } P{ ( X xi ,Y y j )}
j
j
P{X xi ,Y yj }= pij = pi.
j
j
(i 1, 2, )
为(X, Y)关于X的边际概率分布（边际分布列）；
称 P{Y y j } P{ X xi ,Y yj } P{ ( X xi ,Y y j )}
x
x
FX ( x) F ( x, )
p(u, v)dudv
[ p(u, v)dv]du
于是可得
pX ( x) FX ( x)
p( x, v)dv
p( x, y)dy
同理可得
pY ( y) FY( y)
p( x, y)dx
称 pX ( x), pY ( y) 分别为(X, Y)关于X ,Y的边际密度函数. (实际上,由定义可知, pX ( x), pY ( y) 即为随机变量X与Y各自
例3 求上节例2中二维随机变量关于X和 Y的边际分布列.
解因
XY 0
0
9
25
1
6
25
p. j
3
5
即关于X和Y 的分布列分别为：
1
pi .
6
3
25
5
4
2
25
5
2
5
X0 1
Y0 1
P 3/5 2/5
P 3/5 2/5
注意：边缘分布列不能确定联合分布列.
因而单纯地研究各个分量的分布是不够的,而有必要把它们 放在一起作为整体来考察其联合分布.
1
e
2(
1 1
2
[ )
(
x
1 12
)2
2
(
x
1 )( y2 1 2
)
(
y2
2 2
)2
]
21 2 1 2
可得
pX ( x)
p( x, y)dy
1
e dy
2 1 1 2
2 1 1 e dy 1 2
1 2(1
2
[ )
(
x
1
2 1
)2
2
(
x
1
)( y 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)2
]
2
1 2(1
2
[(1 )
2
)(
x 1
2 1
)2
(
y 2 2
x 1 1
1 1 2 1
( x1 )2
e 2
2 1
2
e dy
1 2(1
2
( )
y 2 2
x 1 1
)2
令 t 1 ( y 2 x 1 ), 有
1 2 2
1
pX ( x)
1
2 1
e
FY(y)＝
P{Y
y}
=P{X<+
,Y
y}=F
(+,
y)
lim
x
F ( x,
y)
称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边际分布函数.
例1 已知(X, Y)的联合分布函数为
1 e x xe y ,
F ( x, y) 1 e y ye y ,
0,
0 x y 0 y x
其它
求 两个边际分布函数FX(x)与FY(y).
§3.2边际分布及随机变量的独立性
一、边际分布函数
定义 称二维随机变量(X, Y)的两个分量X, Y各自的分布函数 为(X, Y)关于分量X,分量 Y的边际分布函数；即
FX(x)＝
P{X x}
=P{X x,Y<+ } =F (x, +)
lim F( x, y)
y
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边际分布函数；
解
FX(x)=F(x,+)=
1 e x 0
x0 x0
FY(y)=F(+,y)=
1 e y 0
y0 y0
二、边际分布列
定义 称二维随机变量(X, Y)中两个分量X(或Y) 的概率分布 为(X, Y)关于分量X(或 Y)的边际概率分布;即若随机变量X与Y的 联合概率分布为
(X, Y)～P{X＝xi , Y＝yj}＝ pij (i, j＝1, 2, …)
p1•
x2
p21 p22 ... p2j ...
p2•
xi
pi1 pi2 ... pij ...
pi•
... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
P(Y y j ) p. j p•1 p•2 ... p•j ...
注 显然(X, Y)关于X(或 Y)的边际分布列可由上表依行(或列) 累加而得.
的概率密度.)
例5 设(X, Y)服从如图区域D上的均匀分布,求 (1)求(X, Y)的联合概率密度函数；(2)求两个边际密度函数.
解 (1)因
SD
1 2
21
1
则(X, Y)的联合密度函数为
p(
x,
y)
1, 0,
(x, y) D (x, y) D
(2)
pX ( x)
p( x, y)dy
1
解
FX(x)=F(x,+)=
1 e x 0
x0 x0
1 e y ye y y 0
FY(y)=F(+,y)=
0
y0
例2 已知(X, Y)的联合分布函数为
1 e x e y e , x yxy x 0, y 0
F(x, y) 0,
其他
求 两个边际分布函数FX(x)与FY(y).
(
x 1 2 12