无限脉冲响应
数字滤波器(IIR DF)的设计
7.1
数字滤波器的基本概念
数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线
性系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的 本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另 一组输出的数字序列。 数字滤波器的分类: １） 经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频 率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合 适的选频滤波器达到滤波目的）
３）线性相位滤波器设计方法
H (z)
•
•
FIR滤波器：常用（相位特性严格线性，这是AF 无法达到的） IIR滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特 性进行相位校正
IIR DF的设计方法有：间接设计法（AF变换方法）、直接 设计法及采用计算机辅助的优化设计方法。经常用的一类 设计方法是间接设计法：即借助于模拟滤波器的设计方法 进行的。
单位圆周外。
说明S平面的右半平面映射到Z平面的
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
但存在映射多值性问题:
ze
sT
s jW
j (W 2 M T M T )T
e e
T
jW T
e e
jw
T
re
jw
令 : r 1,
z e
e
j (W 2
)T
M 为任意整数
s 1 (s 1) W1
2 2
1 jW 1
则对应的DF的二阶基本节的形式为
1 z e 1 2z e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 1T 1 1T
c os W 1T
2 2 1T
c os W 1T z e
如果AF的二阶基本节的形式为
W1 (s 1) W1
2 2
jW W
2 T

W
的关系如图所示：
S域的jΩ 轴映射为Z域的单位园上，映射关系具有唯一性。
从 W 的关系可看出：Ω 与ω 是非线性的，即： AF的频率特性在DF中不能得到保持.
采用预变形矫正法，可以克服这个缺点： 即在给定DF的ω s,ω p后，在设计AF滤波器时，并不直接 按这个数据设计，而是先通过 再用 s
H 1( z) H 2(z) 0 .3 2 7 6 z 1 1 .0 3 2 8 z 1 1 .9 3 0 7 z
1 1 2
0 .2 4 7 z
1
0 .0 4 8 5 z
1
0 .9 3 7 5 z
2
分别画出它们的幅频特性如图7.2.3所示。其中图 7.2.3(a)表示模拟滤波器的幅频特性。
sC 1
1 z 1 z
1 1
C
2 T
H (z)
a 0 a1 z 1 b1 z
a2 z b2 z
ak z
k
1
2
bk z
k
系数Ak 、Bk和 ak 、bk之间的关系列于下表中。
例7．3．1：设有一数字处理系统，它的抽样频率fsa 为2000Hz，希望在此系统中设计一个一阶低通数字滤 波器，使其通带中允许的最大衰减为3dB，通带上限 频率fp为400 Hz 解：1、数字滤波器的技术指标
为简化设计，将模拟滤波器各系数和经双线性变换法 得到的数字滤波器的各系数之间关系，列成表格供设计 时使用。 设
H a (s) A 0 A1 s A 2 s A k s
2 2 k k
B 0 B1 s B 2 s B k s ,
2
H ( z) H a (s)
说明S左半平面映射到Z平面的单位圆
说明S平面的jΩ 轴映射到Z平面的单位圆周
当σ >0时,|Z|>1
说明S右半平面映射到Z平面的单位圆周外。
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
频率变换关系： 令s=jΩ , z=e jω ，有：
2 1 e T 1 e ta n 1 2
j j
,
1 jW 1
则对应的DF的形式：
z e 1 2z e
1 1
1T
sin W 1T
2 2 1T
1T
co s W 1T z e
如果Ha(s)的极点si是一个实数，则AF是一阶基本节的形式:
A S Si
则DF为：
1 Z
A
1
e
- S iT
例7.2.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为
映射关系 令：
z e
sT
re
jw
s jW z e
( jW )T
e
T
e
jW T
r e
T
w WT
映射关系： 当σ <0时，r<1 说明S平面的左半平面映射到Z平面的
单位圆周内
当σ =0时，r=1 说明S平面的jΩ 轴映射到Z平面的单位 圆周
当σ >0时，r>1
产生失真，所以要求：AF的频响Ha(jΩ )的最高频率
Ω h≤π /T。即：| H a ( j W ) | 0,
W /T
脉冲响应不变法的优缺点 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
WT
缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设
计高通、带阻等滤波器。
总结：用脉冲响应不变法设计IIR DF的步骤为：
0
π

2π
H (e
j
)
2π
π
带通

0
π H (e
j
2π
)
2π
π
带阻
0
π H (e
j
2π

)
2π
π
0
π

2π
图7.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性
数字滤波器是一个离散时间系统，在频域具有周期性， 周期是2 ，其特性又对称于折叠频率 ，所以我们讨论的频 率范围0 ~ 。
h ( n ) h a ( t ) |t n T h a ( n T )
即对模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)进行采样，得到 ha(nT)，将ha(nT)作为DF的h(n)，由h(n)求出H（Z），作 为DF的系统函数。 所以，已知H（S）通过变换
z e
sT
或
s
1 T
ln z
可以得到DF的系统函数H（Z）。
所以多个S值映射为单个Z值。S平面的jΩ 轴映射为Z平
面的单位圆周，所以Ω T每增加或减少2，即Ω 增加或 减少2/T,对应于单位圆周上逆时针旋转一周。S平面上
每一条宽为2/T的横带部分都将重叠地映射为整个Z平
面，每一条横带的左、右半平面分别映射为单位园内、 外。如图7.2.1所示：
图7.2.1 s平面与z平面之间的映射关系
H a (s) 0 .5 0 1 2 s 0 .6 4 4 9 s 0 .7 0 7 9
2
用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统 函数H(z)。 解：
Ha(S ) 0 .6 4 4 9 0 .7 7 7 2 ( S 0 .3 2 2 4 ) 0 .7 7 7 2
2 2
H (Z )
0 .6 4 4 9 Z 1 2Z
1
1
e
0 .3 2 2 4 T
sin 0 .7 7 7 2 T
2
e
0 .3 2 2 4 T
co s 0 .7 7 7 2 T Z
e
0 .6 4 4 8 T
以T=1s代入，用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则
W 1 tan ( ) T 2 2
，将数字滤波器的频率指
标转换成模拟滤波器的频率指标。 (3)按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器Ha(s)。 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数 字滤波器系统函数H(z)。
H Z ） H a ( S ) | （
S 2 1 Z 1 T 1 Z 1
由 可求得
s
2 z T 2 T
s s
映射关系是否满足条件： 设：
s jW 2 z T 2 T ( | z | ( 2 T 2 T ) )
2
jW jW W W
2
2
2
∴ 当σ <0时，|Z|<1 周内 当σ =0时,|Z|=1
1、通过w=Ω T将给定的DF的技术要求转化为AF的 技术要求 2 、设计此AF，得到Ha(S) 3 、对H(s)进行Laplace反变换求得ha(t)
4 、令
h ( n ) h a ( t ) |t nT h a ( nT )
5、求H（Z）。
实际上问题可简化，一般Ha(s)的极点si是一个复数， 且以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在 一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶 基本节的形式为:
数字低通系统函数：
H ( z) H a (s) |
1
2 1 Z s T 1 Z 1

0 .4 2 1(1 z
1
)
1 0 .1 5 8 3 z
1
例7.3.2 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率
图7.2.3 例7.2.1的幅度特性
7．3 用双线性变换法设计IIR数字滤波器
双线性变换法的基本思想是：让描述DF的差分方程近似 描述AF的微分方程
H（Z）与Ha（S）之间存在如下关系：
H Z ） H a ( S ) | （ 2 1 z T 1 z
1 1
2 1 Z 1 S T 1 Z 1