二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：⇔>0a；⇔<0a．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，0>c⇔抛物线交y轴于；<c⇔抛物线交y轴于；0=c⇔．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当ba,同号时⇔对称轴在y轴；0=b⇔对称轴为；ba,异号⇔对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，c，△的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b _______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，c，△的符号判断抛物线的位置：例1．若0,0,0<><cba，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）例2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac 0 例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) x x x xA 、0,0,0<><c b aB 、042<-ac bC 、0<++c b aD 、0>+-c b a3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b ac ac b b a ,42在．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限4．二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数c ax y +=( )5．二次函数y=ax2+bx+c ()0≠a 的图象，如图，下列结论①0<c ②0>b ③024>++c b a ④()22b c a <+其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个C 、3个D 、4个6．已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数cb a ,,有下列不等式①0<a ②0<b ③0>c ④02<+b a ⑤0>++c b a 其中正确个数为 ．7．已知直线y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线2y ax bx =+一定经过（ ）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2-3x ＋a 2-1的图象，那么a 的值是__．9. 若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为______若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在y 轴上，则b 的值为______10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c=2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个12. 二次函数y ＝ax 2 －2x －1与x 轴有交点，则k 的取值范围________。

13.（2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c>1（3）2a －b<0；（4）a+b+c<0。

你认为其中错误．．的有A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个【答案】D14. （2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax 2轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C15.（2010年杭州月考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0<abc ②当1x =时，函数有最大值。

③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. ④024<++c b a 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解：根据函数图象，：a＜0，c＞0，对称轴x=1，b＞0，与x轴交于（-1，0）（3，0）两点．①abc＜0，正确；②当x=1时，函数有最大值，正确；③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0，正确；④当x=2时，y=4a+2b+c＞0，错误；答案：C16.（2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）ArrayA、4个B、3个C、2个D、1个解：①：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=-b/2a＞0，又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；故本选项错误；②∵对称轴为x=-b/2a＜1，a＜0，∴-b＞2a，∴2a+b＜0；故本选项正确；③根据图示知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故本选项正确；④由图可知当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，∴a+c＜b＞0，即不确定a+c＜0；故本选项错误；综上所述，②③共有2个正确．故选C．x图1的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）【答案】①③．解: ①当x=1，∴a+b+c=0，所以 ①a+b+c=0正确，②由对称轴x=-b/ 2a =－1，得 b=2a 所以②b ＞2a 错误。

③由对称轴x=－1和与x 轴交点是1，得与x 轴另一个交点是－3 ，③正确。

④当x=-2，得4a-2b+c<0 ， (a-2b+c)+3a<0 a ＞0 所以④a-2b+c ＞0错误。

19. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ）①a+b+c ＜0；②a-b+c ＞0；③abc ＞0；④b=2aA.4B.3C.2D.1解: ①当x=1，∴a+b+c ＜0，所以①a+b+c ＜0正确，②当x=-1，∴a-b+c ＞0，所以②a-b+c ＞0正确②由对称轴x=-b/ 2a =－1，得 b=2a 所以②b ＞2a ③a ＜0，c ＞0，得b ＜0，所以abc ＞0，所以③abc ＞0④由对称轴x=－1即-b/2a=-1，得b=2a ，所以④b=2正确。

当x=-2 ，得4a-2b+c<0 ， (a-2b+c)+3a<0 a ＞0 所以④a-2b+c ＞0错误。

20、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，那么下列判断正确的是 。

①abc ＞0； ②b2-4ac ＞0，③2a+b ＞0； ④4a-2b+c ＜0解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴c＜0，所以b ＜0，所以①abc ＞0正确。

②抛物线与x 轴有两个交点，所以②b 2-4ac ＞0正确③∵对称轴为-b/2a ＜1，a ＞0，∴-b ＜2a ，∴2a+b＞0；所以③2a+b＞0正确④当x=-2时，4a-2b+c＞0，所以④4a-2b+c＜0错故填①②③21.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0其中正确结论的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个解：①：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=-b/2a＞0，又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；故本选项错误；②∵对称轴为x=-b/2a＜1，a＜0，∴-b＞2a，∴2a+b＜0；故本选项正确；③根据图示知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故本选项正确；④由图可知当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，∴a+c＜b＞0，即不确定a+c＜0；故本选项错误；综上所述，②③共有2个正确．故选C．22.(2007南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a ＜b．其中正确结论是（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③解：①∵抛物线与x轴的交点为(-3，0)和（1,0）所以抛物线与x轴有两个交点∴b²-4ac＞0①正确②因为抛物线的对称轴是x=-1所以-b/2a＜1∴-b＞2a（∵a<0）∴2a+b＜0 ∴②错误③∵x=-1时，y＞0∴a-b+c＞0∴③错误④∵对称轴是x=-b/2a=-1∴b=2a即2a=b∴5a-b=5a-2a=3a<0∴5a＜b∴④正确答案为①④23.(2006武汉)已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（x 1，0），且0＜x 1＜1，下列结论：①9a -3b+c ＞0；②b＜a ；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3解：①当x ＝－3时，得9a －3b ＋c ＞0，所以①9a-3b+c ＞0正确。

②对称轴－b 2a=-1，即b=2a ，， a>0 即 b>a ， 所以②b ＜a 错误。

③当x ＝1时，得 a ＋b ＋c ＞0， 对称轴－b 2a=-1，即b=2a ， 得a ＋2a ＋c ＞0，即：3a ＋c ＞0。

所以③3a+c ＞0正确。

因此选C 。

24.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0） 对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( ）解: ①图像对称轴对称轴－b 2a=1，即b=-2a ，所以①错 ②a ＞0，c ＞0，b ＜0，即abc ＜0，所以②正确③当x=－12时，(－12)2a －12b+c ＜0，即③a﹣2b+4c ＜0正确 ④x 1×x 2=c a =-3 ，即c=-3a ，所以8a+c=8a-3a=5a ＞0，所以④正确。