Hn
&
)
H
' n
dH n d
Hn1 ( ) 2H n ( ) 2nHn1( )
(1.5.6)
由上面的递推公式，可得到厄米多项式的具体地推表达式：
H ( ) 1 0
H ( ) 2 1
H ( ) 4 2 2 2
H ( ) 8 3 12 3
...
(1.5.6)
所求的的一维谐振子的能量本征值为：
此本征值能量称为零点能,是无限深势阱内粒子所具有的最低 能量.
经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子 能量不可能为零。
这是由测不准关系决定的!
•粒子势阱中各处出现的几率
n(x)
2 a
sin(na
x)
En n ( x)
n4
n+1个节点
n x 2
稳定的驻波能级！
E4
4(x)
2 a
sin
(x) 2 dx 1
A2
a
sin 2
n
xdx
1
0
a
由
a
b
sin
m
a
x* sin
n
a
xdx
a
2
mn
A 2 a
2 (x)
2 sin n x
aa
k2
2mE 2
En
22
2ma2
n2
(n 1,2,3,)
可见E是量子化的。
对应于 En 的归一化的定态波函数为
n
(
x,
t
)
2
sin
n
xe ,
nd
(
-
0
2 sin m x)(
aa
2 sin n x)dx
aa
a
0
1 [cos (m a
n)
a
x
cos (m
n)
a
]dx
1
(m n)
(mn) cosudu 0
1
(m n)
(mn)
0
cos v dv
0
所以，不同能级的波函数是正交的。如果把波函 数的正交性和归一性表示在一起，可写为
m * nd mn
4
a
x
a 8
3a 8
5a 7a 88
E3
n3
3(x)
2 a
sin
3
a
x
a 6
a 2
5a 6
E2
n2
2(x)
2 a
sin
2
a
x
a
4
3a 4
E1
0
n 1
a
1(x)
x
2 a
sina
x
0
a/2
aX
说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态， 从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些驻波。这 些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 < x < a 范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。
(x) Asin n x n 1.2.3
故波函数:
a
(x,t)
Asin
n
xe
i
Et
a
(x) Asin n x
故波函数:
a
(x,t) Asin
n 1.2.3
n
xe
i
Et
U
k2
2E
2
a
由归一化条件:
0 E ax
2 dx
a
0
(2x ) dx
A2 a 1
2
A
a
( Asin
U
U0
mE
3
x
U
(
x)
U 0
0
0xa x 0, x a
薛定谔方程：
x 0, x a 2 1( x) x 2
2mE 2
1(
x)
0(1)
0 x a 2 2( x) x 2
2m(
E
2
U
0
)
2(
x
)
0
对应的解：
U U0 mE
3
x
U
(
x)
U 0
0
0xa x 0, x a
对应的解：
1( x) Aeik1x Be ik1x 2( x) Ceik2x Deik2x 3( x) Geik1x
当势阱宽度a大到宏观的尺度， E很小，能量量子化不显著
可把能量看成连续，回到了经典理论
例. 电子在原子中，a=10-10m的势阱中，其能量为：En 38n2(eV)
En 76n(eV) ——量子化显著 若电子在a=10-2m的宏观势阱中 En 0.76n1014(eV)
——不可分辨，量子化消失
（2） 一维无限深方势阱中粒子特点：
• 粒子的能级图
En
n2
22
2ma2
(n1,2,)
E
(2n
1)
22 2ma 2
n, E
当 n 时
E 2n 1
0
En
n2
在高能级上可看成能级连续分布
玻尔的对应原理
量子
等价
经典
•势阱中电子最低能量不可能为零
最低能量状态称之为基态,对应于n=1的状态
En
n2
22 2a2
(n 1,2,)
22 E1 2a2 0
（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定， 半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。
（3）第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点。 节点处找到粒子的几率为零.
例：n=8 0
a
（4）当 n，粒子在各处出现的几率相同
——量子化消失 （ En En能级连成一片）
二. 势垒穿透和隧道效应
在 0< x < a 的区域中，粒子的定态 薛方程为：0
d 2 (x)
d x2
2 E
2
(x)
0
令k 2
2E
2
d 2 (x) k 2 (x) 0
d x2
X
a
x
2 0
x
0
其通解为： (x) Asin kx B coskx
( x) Ceikx Deikx
(x) Asin(kx )
2m dx2
在各区域的具体形式为
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx 2
1
(x)
U
(x)
1
(x)
E
1
(x)
①
Ⅱ0： x a
2 2m
d2 dx2
2
(x)
E
2
(
x)
②
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx 2
3
(x)
U
( x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于 U (x) 要等式成立，必须
i
En t
aa
0 xa
0,
x 0, x a
例题2 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有下面的性质
*
1
2d
0
这种性质称为正交性，即不同能级的波函数是互相正交的。
解将m能级的波函数 m 取其复共轭
* ，与n能级的波函数
m
n 相乘并在粒子所能到达的整个空间（在此就是阱区内)
得：
a
m
2 (0) 1(0) ⑤
2 (a) 3 (a) ⑥
2 (0) 1(0) ⑤
2 (a) 3 (a) ⑥
⑤B0
⑥ Asin ka 0
2 (x) Asin kx B cos kx
A0
sin ka 0
ka n (n 1, 2, 3,)
∴
2 (x)
Asin
n
a
x
由归一化条件 (x) 2 dx 1
0
2 a
nx )2 dx
a
1
n(x)
2 sin n x
aa
本征能量En—— 本征函数
n (x)
2 a
sin
n
a
xe
i
Et
n 1.2.3
n (x)
2 sin n
xe
i
Et
a a n 1.2.3
粒子出现 的几率：
2
[ n (x)]2
2 sin 2 a
nx
a
能量公式：
k2
2E
2
k2
2mE 2
(r ,
t)
(r )e
i
Et
能量本征方程 动量本征方程
一维无限深势阱
1 一维无限深势阱中粒子的运动
（1） 求解. 设粒子处在势阱U(x)中
U(x)0 0 xa （定态问题） U(x) x0, xa
解:显然在 x 0, x a 的区域内
U(x)
(x) 0 (0) 0 (a) 0
( n
a
)2
k n
a
En
(n)2
22 2a2
n 1.2.3
一维无限深方势阱中粒子特点：
• 能量是量子化的 量子数 这是解薛方程的必然结果，
En
n2
22 2a2
(n
相邻两能级的间隔：
1,2,)
E (2n
1)
不是玻尔理论中的人为假设
22 n , E 2a2 a , E
当势阱宽度a小到原子的尺度， E 很大，能量的量子化显著