1 f (t ) 1 2 2 i [ (r ) V (r ) (r )] f (t ) t (r ) 2m
很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只 是时间t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于 某一个常数，设以E表示，则有： 11
r

f (t ) i Ef (t ) （ 1） t 2 2 (r ) V (r ) (r ) E (r ) （2） 2m
p E V ( x, t ) 2m
将上式作用于波函数上，此时的薛定谔方程为：
2
( x, t ) ( x, t ) i V ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
2 2
⑤
8
由此可知，粒子能量E和动量P与下列作用在波 函数上的算符相当：
E i , t
方程（1）的解为： f 将 f (t ) ce 入 并把常数包含在 程的特解为：
( x, t ) i E0e t
上式两边都乘以
i ( Et px )
i E ( x, t ) ①
( x, t ) i E ( x, t ) t
对 x 求二阶偏导
i
得：
( x, t ) i i p0e p ( x, t ) x i 2 2 ( Et px ) ( x, t ) ip 2 p ( ) e 2 ( x, t ) 0 2 x 2
i ( Et px )
②
6
上式两边都乘以
2m
得：
2 2 ( x, t ) p 2 ( x, t ) 2 2m x 2m
把对t 求导的式子写在下面
②
( x, t ) i E ( x, t ) t
①
当粒子速度远小于光速c时（v<<c）自由粒子的动量 和能量满足以下关系：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E i , p i t
(r , t ) (r ) f (t )
10
2 (r , t) 2 代入 i (r , t) V ( r, t) ( r, t ) t 2m
得：
2 2 i [ (r ) f (t )] [ (r ) f (t )] U (r ) (r ) f (t ) t 2m 两边除以 (r ) f (t )，可得：
p E 2m
2
③
利用上面的两个公式消去 p,E 得：
7
2 2 ( x , t ) ( x, t ) 可得： i t 2m x 2
④
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。
2.薛定谔方程的一般形式
若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 势能函数为EP＝V(x,t)，则粒子的总能量应为：
利用复数计算公式
e
ix
cos x i sin x
上式可以记为
y Ae
i E t px
1.自由粒子的薛定谔方程
动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为：
( x, t ) 0e
i ( Et px )
5
对时间求微商，得到：
9
3.建立薛定谔方程的一般方法 （1）找出粒子总能E与动量P的关系式； （2）把关系式中的E和P算符化：
（3）把经算符化后的关系式分别作用在上，即可 得到所需的薛定谔方程。 4.定态薛定谔方程 如果粒子的势能并不随时间而变化，即V=V(x,y,z)， 它不包含时间。在经典力学中这相应于粒子机械能守 恒的情况，在这种情况下，可以用分离变量法把波函 数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：
2
引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基 本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。 它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现 象来验证的。
3
1926年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力 学的一个基本方程来描述微观粒子的运动。当微观 粒子所处的力场确定后，粒子所处的状态可以由薛 定谔方程求解。
一、薛定谔方程
要建立微观粒子的运动方程，应包含时间及空 间变量。这个方程还应满足以下两个条件：（1）方 程是线性的，即如果1和2都是这方程的解，那么 1和2的线性迭加（a1 +b2）也应是方程的解。 这是由态迭加原理(干涉现象）决定的；（2）这个 方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。 否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各 种可能的状态所满足。
4
x 首先看平面波的波动方程： y A cos2 t 将其用于自由粒子则： 1 2 h x A cos E t px y A cos h t h
p 或p i
2 2 2
ˆ i , p 写成式子： E ˆ i t i j k x y z
2
2 ˆ 引入哈密顿算符： H V 2m 这就是薛定谔方 ˆ 则⑦式可写为： H i 程的一般形式。 t
2-1
薛定谔方程及 其简单应用
1
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。 薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人 之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭 的放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起 来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔 方程的量子力学波动方程。 薛定谔对分子生物学的发展也做过工 作。由于他的影响，不少物理学家参 与了生物学的研究工作，使物理学和 生物学相结合，形成了现代分子生物 学。