D' =
D’称为 D 的转置行列式 性质 1 D 与 D’相等 证 设 D 的第 i 行第 j 列元素为 bij，则 bij=aji(ij=1,2…n)
D' =
∑ (−1)
j1 j2 L jn
τ ( j1 j2 L jn )
b1 j1b2 j 2 L bnjn =
∑ (−2)
j1 j2 L jn
τ ( j1 j2 L jn )
(− 1)τ ( j j L j ) a1 j1a2 j 2 L anjn = (− 1)τ (i i Li ) ai11ai 22 L ainn .
1 2 n 12 n
线性代数—学习笔记一
a11 a 21 L a n1
a12 L a1n a 22 L a 2 n L L L a n 2 L a nn
x =0 2
解2 4 3 x
x = 8 + 6 x − 2 x + 12 − 8 − x 2 = 0 2
即 12+4x-x2=0 , （6-x）(2+x)=0 得 x=-2 ,x=6 以上二、三阶行列式定义都是通过对角线上元素之积的代数和给出的，这种 对角线法则只适用二、三阶行列式，为给出四阶及更高阶的行列式需利用排列与 逆序的概念 2．排列与逆序， 排列与逆序，n 阶行列式 n 个数 1，2，3，……，n 按一定排列组成一个有序数组，称为一个民阶排 列，例如三个数 1,2,3,可以有三阶排列 123,231,312,132,213,321 共 6 个，n 个数构成 n 阶排列的总数为 n！ n 个数由小到大依自然顺序排列成 123……n 称为标准排列，若在 n 阶排列中一 个较大的数排在一个较小数的前面，称这两个数构成一个逆序，在 n 阶排列 i1,i2……in 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作 τ（i1,i2……in） 。 例如 3 阶排列 231 中“2”排在“1”前构成一个逆序。 “3”排在“1”前又构成 一个逆序，231 的逆序数为 2，即 τ（231）=2，同理 τ（312）=2，τ（132） =1，τ（32451）=5 逆序数为奇数的排列称为奇数排列，逆序为偶数的排列称为 偶排列，排列具有以下性质: 1．对换排列中的任意两个数，排列改变奇偶性 证、先考虑两个相邻无素的对换，例如排列为……ij……，对换 i,j 得排列…… ji……在这两个排列中 i 或 j 与其它元素的相对位置没有改变， 故之 i 或 j 与其 它元素的逆序没有改变，而 ij 的相对位置变了，若 i＜j，圣贤换后逆序数增加 1，若 i＞j 对换后逆序数减少 1，故改变了排列的奇偶性。 再考虑不相邻二元素的对换，若在热排列…ik1k2…ksj…中对换 i 和 j 得排 列…
ka i 2 L kain = k ai1
a n 2 L a nn
性质 3 若行列式某一行（列）的各元素可以分为二元素之和，则行列式可分 解成二行列式这和即 a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n L L L L L L L L L L L L bi1 + ci1 bki 2 + ci 2 L bin + cin = bi1 bki 2 L bin + ci1 ci 2 L cin L L L L L L L L L L L L a n1 an 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn 以上二性质的证明直接由定义得出 性质 4 互换行列式的任意两行（列） ，行列式变号 证 设互换行列式的第 p 列与第 g 行即
a1
= ( − 1 ) τ ( n ( n − 1 )( n − 2 ) L 1 ) a 1 a 2 K a n
( n − 1)n 2
∴
an
a2 N
= ( −1)
n ( n −1) 2
a1a 2 L a n
3．行列式的性质 当行列式的阶数较高时，由行列式的定义计算行列式的值是很困难的，为此我们 先研究行列式的性质，以寻求计算行列式的简便方法：
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jk1k2…ksi…，后者可以看成 i 依次与相邻元素 k1k2,…,ks,j 作 s+1 次相邻对换， 再将 j 依次与 ks,ks-1,…,k,作 s 次相邻对换而得到，即共作 2S+1 次相邻元素的 对换，因此改变了排列的奇偶性。 2．任一 n 阶排列 i1,i2…in 与标准排列 12……n 者可以通过一系列对换互变，且 所作对换的次数与排列 i1,i2…in 有相同的奇偶性。 证：标准排列逆序数为 0 为偶排列，现用归纳法证明 n=1 时一阶排列只一个数，结论显然正角，设对 n-1 排列结论成立，现证对 n 阶 排列 i1,i2…in 结论也正确，若 in=n,由归纳可设 n-1 阶排列 i1,i2…i-1 可以通过 对换变成 1，2…n-1 故必针 i1…in-1,in 变成 1，2…n-1n 若 in≠n 先对 i1i2…In 施到 in 与 n 的对换，变成排列 i1i2…in-1，n 即可，故结论 正确。 同理可将 1,2……n 通过对换变成 i1i2…in。 再由性质 1 及 12…n 是偶排列， 故新作对换次数与排列 i1i2…in 有相同的奇偶性。 为了给出 n 阶行列式的定义，先研究二、三阶行列式的结构 1）二阶行列式由 4 个元素构成，3 阶行列式由 9 个元素构成，自然 n 阶行列式 由 n2 个元素构成。 2）二阶行列式每一项都是两个元素的乘积，这两个元素来自不同的行、不同的 列，三阶行列式每一项都是三个元素的乘积，这三个元素也位于不同的行、不同 的列，二阶行列式的每一项，若不计正负号都可算成 a11a2i2,三阶行列式的每一 项除正负号外，者可算成 a1i1，a2i2,a3i3,即第一个下标也就是行标是标准排列，而 第二个下标即列标则排成 i1i2 或 i1i2i3,它们分别是 1，2 或 1，2，3 的某个排列。 3）1，2 两个数只有两个排列 12 或 21，前者为偶列排列，后者为奇排列，对照 二阶行列式中的两项，当列标为偶排列时，该项取正号，当列标为奇排列时，则 取负号。 1，2，3 三个数的排列总数有 6 个 123，231，312 为偶排列 132，213，321 为奇 排列，而三阶行列式给由 6 项组成列标为偶排列的该项正号，列标为奇排列的项 取负号。 由以上结论可以给出 n 阶行列式的定义 定义民阶行列式
a11 , a12 a 21 , a 22
即
a11 , a12 = a11a 22 − a12 a 21 a 21 , a 22
数 aij(i,j=1,2)称为行列式的元素，aij 的第一个下标 i 称为行标，第二个下标 j 称为列标，aij 表示该元素在第 i 行，第 j 列。 由以上定义知：
b1a 22 − b2 a12 = b1 , a12 b2 ,a 22
称为由数表（*）新确定的三阶行列式 以上定义表明三阶行列式含 6 项，每项都是不同行不同列的三个元素之积再 冠以正负号。 例 1 计算三阶行列式
1 1 2 3 4
D = −5 2
2 −5
解：由以上对角线乘法知 D=－10+8－30－6－50－8=－96
1 2 −1
例 2 解方程 2 4 3 x
1 2 −1
a j11a j 22 L a jnn = D
由这个性质知，行列式性质中对行成立的性质，对列也成立。 性质 2 行列式某一行（列）的公因子，可以按列行列式符事外面，即
a11 L kai1 L a n1 a12 L L an 2 L L L L a1n L L a nn a11 L L a n1 a12 L ai 2 L L a1n L L L ain L L
，互换 p 行与 g 列后得 D1 = L a p1 L a n1
可以引出三阶行列式的概念。 定义 2 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a 33 （）得
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a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a13a 22 a 31 − a12 a 21a 33 − a11a 23 a 32 , a 33
a11 L a p1 D= L a g1
L a n1
a12 L
L
L a1n L L L L
a11 L a g1
a12 L
L L an 2
L a1n L L L L
a p 2 L a pn ag
L an 2 L a gn L L L a nn
a g 2 L a gn a p 2 L a pn
L L L a nn
a11 a12 L a1n a 21 L a n1 a 22 L a 2 n L L L a n 2 L a nn
将行列式
D=
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的行换成列，列换成行，得行列式 D’
a11 a12 L a n1 a 21 L a n1 a 22 L a n 2 L L L a n 2 L a nn
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主 内
题： 《线性代数》学习笔记 容：
《线性代数》 线性代数》学习笔记一 ——行列式的定义和性质 ——行列式的定义和性质
1、二、三阶行列式的定义 解二元线性方程组 a11x1+a12x2=b1 a21x1=a22x2=b2 用消元法去 x2 得 （a11a22-a12a21）x1=b1a22-b2a12, 消去 x1 得 （a11a22-a12a21）x2=a11b2-a21b1, 当 a11a22-a12a21≠0 时，得出
a11 0 L 0 a 22 L a1n a 22 L a 2 n L L 0 L L a nn