第二章1. 对于在r θ平面内的不可压缩流体的流动，r 方向的速度分量为2cos /r u A r θ=-。

试确定速度的θ分量。

解：柱坐标系的连续性方程为11()()()0r z ru u u r r r z θρρρρθθ∂∂∂∂+++='∂∂∂∂对于不可压缩流体在r θ平面的二维流动，ρ=常数，0,0z z u u z∂==∂，故有11()0r u ru r r r θθ∂∂+=∂∂ 即22cos cos ()()r u A A ru rr r r rθθθθ∂∂∂=-=--=-∂∂∂将上式积分，可得22cos sin ()A r A u d f r r θθθθ=-=-+⎰式中，()f r 为积分常数，在已知条件下，任意一个()f r 都能满足连续性方程。

令()0f r =，可得到u θ的最简单的表达式：2sin A u r θθ=-2．对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。

（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动； （2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动； （3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动； （5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。

解： ()0ρρθ∂+∇=∂u（1） 在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动0x z x y z u u u u u u x y z x y z ρρρρρθ∂∂∂∂∂∂∂++++++=∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎪⎝⎭y 稳态：0ρθ∂=∂，一维流动：0x u =， 0y u = ∴ z 0z u u z z ρρ∂∂+=∂∂， 即 ()0z u zρ∂=∂ （2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动()()()0y x z u u u xyzρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂稳态：0ρθ∂=∂，二维流动：0z u = ∴()()0y x u u xyρρ∂∂+=∂∂， 又cons t ρ=，从而0yx u u x y∂∂+=∂∂ （3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动 在此情况下，（2）中cons t ρ≠∴()()0y x u u xyρρ∂∂+=∂∂（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动()()()110r z r u u u r r r zθρρρρθθ∂∂∂∂+++='∂∂∂∂ 稳态：0ρθ∂='∂，轴向流动：0r u =，轴对称：0θ∂=∂ ∴()0z u z ρ∂=∂， 0zu z∂=∂ （不可压缩cons t ρ=） （5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动22()(sin )()1110sin sin r r u u u r r r r θφρρθρρθθθθφ∂∂∂∂+++='∂∂∂∂ 稳态0ρθ∂='∂，沿球心对称0θ∂=∂，0φ∂=∂，不可压缩ρ=const ∴221()0r r u r r ∂=∂ ，即 2()0r d r u dr= 3．某粘性流体的速度场为22538=x y xyz xz +-u i j k已知流体的动力粘度0.144Pa s μ=⋅，在点（2，4，－6）处的法向应力2100N /m yy τ=-，试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。

解： 由题设 25x u x y =，3y u xyz =，28z u xz =-10316xy xz xz ∇⋅=+-u10x u xy x∂=∂，3y u xz y∂=∂，16zu xz z∂=-∂ 因22()3y y x zyy u u u u p y x y zτμμ∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂ 故 22()3y y x z yy u u u u p y xyzτμμ∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂在点（2，4，－6）处，有22(100)20.144(36)0.14423667N /m 3p =--+⨯⨯--⨯=⨯所以 2()32y x zx xx u u u x y zu p x μτμ∂∂∂++∂∂∂∂=-+∂- 226720.144800.144236366.6N /m =-+⨯⨯-⨯⨯=- 2()32y x zz zz u u u x y zu p z μτμ∂∂∂++∂∂∂∂=-+∂- 234.4N /m =-()yx xy yx u u y xττμ∂∂==+∂∂220.144[527.5N /m 34(6)]=⨯⨯-+⨯⨯-=()yz yzzy u u y zττμ∂∂==+∂∂ 20.144 3.5N /m 324=⨯⨯⨯=()x zzxxz u u z xττμ∂∂==+∂∂ 20.144(41.5N /m 836)=⨯-⨯=-4. 某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形截面的边界分别为x a =±和y a =±，有人推荐使用下式描述管道中的速度分布222[1()][1()]4z a px y u z a a μ∂=---∂ 试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。

解： 在壁面处，即x a =±和y a =±时，0z u =，故满足壁面不滑脱条件；在管道中心，0x y ==时，可得2max4z a p u zu μ∂=-∂=（1）将所给速度分布式代入不可压缩流体连续性方程（2-20），因0x y u u ==可得0zu z∂=∂ 将不可压缩流体的运动方程（2-45c ）化简，可得2222()z z u u pz x yμ∂∂∂=+∂∂∂（2）将所给速度分布式分别对x 和y 求偏导数，得2222[1()]()4z a p y xz a au x μ∂=---∂∂∂ 2221[1()]2z p y z a u xμ∂=-∂∂∂ （3）2221[1()]2z p x z a u yμ∂=-∂∂∂ （4）将式（3）和（4）代入式（2）可知，仅当2222x y a +=时才满足运动方程。

因此所给速度分布式不能完全满足运动方程。

5．某一流场的速度向量可以下式表述(,)55x y x y =-u i j 试写出该流场随体加速度向量D D θu 的表达式。

解：y xDu Du D D D D θθθ=+u i j ()()y y y y x x x x x y z x y z u u u u u u u uu u u u u u x y z x y zθθ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++∂∂∂∂∂∂∂∂i j25[(5)(5)]x -y =+⋅-i j 2525x y =+i j第三章1. 如本题附图所示，两平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体，这两层流体的密度、动力粘度和厚度分别为1ρ、1μ、1h 和为2ρ、2μ、2h ，设两板静止，流体在常压力梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。

解：将直角坐标下的连续性方程和运动方程化简，可得221x d u pdy xμ∂=∂ 积分得 21212x p u y C y C xμ∂=++∂因此，两层流体的速度分布可分别表示为 2112112x p u y C y C xμ∂=++∂（1）2212212x p u y D y D xμ∂=++∂（2）由下列边界条件确定积分常数： （1）11;,0x y h u ==（2）22;,0x y h u =-= （3）12;0,x x y u u ==（4）12120,x x du duy dy dyμμ== 将以上4个边界条件代入式（1）与（2），得122111120p C h C xh μ∂++∂=；122222120p D h D xh μ∂++∂=；22C D =；1122C C μμ=解得 2122121112121121h h h p C h x h μμμμμ-∂=∂+1121222121211212221221h h h h p p C h x xh D μμμμμμ-∂∂=-∂∂+-=2212212121122121h h h p D h x h μμμμμ-∂=-∂+2212122212212222221221h h h h p p D h x xh C μμμμμμ-∂∂=-∂∂+-=最后得速度分布方程为212221121212121211121[1(1)]x h h h p h x h y yu h h μμμμμ-∂=-∂+-+-22121221212222222212[1(1)]1x h h h p h x h y y u h h μμμμμ-∂=-∂-+++2. 粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流动，如本题附图所示。

试求该流动的速度分布。

该液体的密度和粘度分别为ρ和μ。

解： 由题给条件，有0θ∂='∂，0r u u θ==，z X g =由柱坐标系连续性方程11()()()0r z ru u u r r r z θρρρθ∂∂∂++=∂∂∂简化得0zu z∂=∂由柱坐标系N-S 方程()z z z rz u u u uu u r r zθρθ∂∂∂++∂∂∂ 2222211()z z z u u u p g r z r r rr z ρμθ⎡⎤∂∂∂∂∂=-+++⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦ 简化得 1()0zg u r r r rρμ+∂∂=∂∂ 由于 0z u z∂=∂，0z u θ∂=∂（轴对称），故()z z u u r =，即 1()0zg du d r r dr drρμ+= 积分得212ln 4z r C g u r C ν+=-+ （1）边界条件为 （1） 0,0z r r u ==（2）,0zR du r dr== 将边界条件代入式（1），得 212g C R ρμ=2020(ln )22r g C R r ρμ=- 故速度分布为222001[ln ()]22z g r u R r r r ρμ=+- 3. 半径为r 0的无限长圆柱体以恒定角速度ω在无限流体中绕自身轴作旋转运动。

设流体不可压缩，试从一般柱坐标系的运动方程出发，导出本流动问题的运动方程，并求速度分布与压力分布的表达式。

解：柱坐标系的运动方程为r 方向: 2r r r r r z u u u u u uu u r r r zθθθθ∂∂∂∂++-+'∂∂∂∂ 2222221112()r r r r u u u pX ru r r r r r r z θνρθθ∂∂∂∂∂∂=-++-+∂∂∂∂∂∂⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （2-47a ）θ方向：r r z u u u u u u uu u r r r zθθθθθθθθ∂∂∂∂++++'∂∂∂∂22222211112()r u u u pX ru r r r rr r z θθθθνρθθθ∂∂∂∂∂∂=-++++∂∂∂∂∂∂⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（2-47b ） z 方向：z z z z r z u u u u uu u r r zθθθ∂∂∂∂+++'∂∂∂∂ 22222111()z z z z u u u pX r z r r r r z νρθ∂∂∂∂∂=-+++∂∂∂∂∂⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2-47c ） 由于该流动具有稳态、对称及一维特性，故有0z θθ∂∂∂==='∂∂∂，0r z u u == 利用上述特点，运动方程（2-47）简化为2u pr rθρ∂=∂22210u u u r r r r θθθ∂∂+-=∂∂ 由于流动为一维，上式可写成常微分方程2u dpdr rθρ= （1）22210d u du u dr r dr r θθθ+-=（2）式（2）的通解为 112u C r C r θ-=+利用边界条件 00,r r u r θω== ,0r u θ=∞=可得21200,C C r ω==因此 20r u rθω=如果令20r Γπω=2则 2u rθΓπ=压力分布为 2228p C rρΓπ=-+由0,r p p =∞= 可得 0C p =因此 222081p p rρΓπ=-4. 试求与速度势2534x xy y ϕ=-++相对应的流函数ψ，并求流场中点（－2，5）的压力梯度（忽略质量力）。