文科立体几何线面角二面角专题学校: ___________ 姓名：____________ 班级：____________ 考号： ___________一、解答题1 .如图，在三棱锥，「中，肚一二/,举一厂：- H-钗-化为的中点.(1)证明：卜「"-L平面；(2)若点鮎在棱吃上，且二面角材-PA弋为剜，求PC与平面P3所成角的正弦值.2 •如图，在三棱锥|P"BC中，嗣訂0 2辽，""，卩＜："04,0为蚯的中点.(1)证明：P°丄平面(2 )若点皿在棱比上，且MC = 2^B,求点匕到平面P°何的距离.3 . (2018 年浙江卷)如图，已知多面体ABCAiBiCi , AiA , BiB , CiC均垂直于平面ABC，/ ABC=120 ° , AiA=4 , CiC=1 , AB=BC=B iB=2 .(I)证明：ABi丄平面A1B1C1 ;(H)求直线ACi与平面ABB i所成的角的正弦值.4 .如图，在三棱柱ABC_A i B i C i中，点p, G分别是& 叽的中点，已知吗丄平面AAJ B#] A.B, A#」ABC , = =3 , = =2.(I)求异面直线与AB所成角的余弦值；(II)求证：丄平面吆匚』i;(III )求直线吒丄与平面BCG%所成角的正弦值5 •如图，四棱锥P-AB8,底面ABCO是正方形，PA = PD"E = 1 , PAPO型，E ,卜分别是阳，8的中点•(1)求证；(2)求二面角匚的余弦值.6 •如图，三棱柱ABC-A i B i C i中，侧棱吗丄底面ABC ,且各棱长均相等D , E , F分别为棱’•，, 的中点•(1)证明：•平面’ ;(2)证明：平面珀8」平面气曾；(3)求直线I町I与直线所成角的正弦值•7 .如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，/ AB D=30 ° , AB = 2CD = 2AD = 2 , DE 丄平面ABCD , EF// BD，且BD = 2EF .(I)求证：平面ADE丄平面BDEF ;(H)若二面角C BF D的大小为60。
，求CF与平面ABCD所成角的正弦值.P-A0CD 中PA 丄平面A9CD PA = AB = BC = AD = CD = 18 .如图，在四棱锥^DC^120[\点创是阴与盼的交点，点W在线段PB上,且卩讯宁压(1)证明：|•汕用平面I ；(2)求直线皿忖与平面PAC所成角的正弦值.(1)求证：平面啦丄平面EBD；(2)设皿为线段E匚上一点，占Eg EC，求二面角M-BD-E的平面角的余弦值.10 .如图，在多面体丽CDEF中，四边形阳8为等腰梯形，眦“AD，已知M丄EC|, AB = AF = BC = ^^)E = 4,四边形ADE卜为直角梯形，AF"DE , #DAF = 9$(1)证明: AC丄平面CDE 平面A BCD丄平面ADEF|.(2 )求三棱锥「ABF的体积.参考答案1.（1 ）见解析（2 ）【解析】分析：（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC ,再通过计算，根据勾股定理得PO 垂直0B，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果详解：（1）因为一，为的中点，所以’且■.$ JA R. ——连结°B.因为-■ ?，所以A ABC为等腰直角三角形，且丄％叫熬“由OPSOB—Pef 知P0 丄0 B.由0P丄0&0P丄AC知卩0丄平面AB C.I（2 ）如图，以。
为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。
W .由已知得0(0口0)冋200“.(0, - = (022⑻,取平面PAc|的法向量I0B = (2,0,0)设M(a,2 - a p C)(C<a <2)，屮悩・⑶4-%0).设平面曲的法向量为E刖力I I I 1( + 2启1= °厂厂由|AP • n ■ 0r AM ' n ■ 0得i ^x +(4 -ajy = 0 可取h 二(卩(齐粗-白)点睛：禾u 用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的 空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2 •解:(1 )因为AP=CP=AC=4 , O 为AC 的中点，所以 0P 丄AC ,且0P='.'? J 1FC-胚连结0B •因为AB = BC=* ，所以△ ABC 为等腰直角三角形，且 0B 丄AC , OB = 由|八7八■■■］知, OP 丄OB •(2 )作CH 丄OM ，垂足为H .又由(1 )可得0P 丄CH ，所以CH 丄平面POM • 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.所以点C 到平面POM 的距离为 所以与平面所成角的正弦值为=2 .由题设可知oc= 所以 0M=, CH =AC -BC 4- =2 , CM = = J ，/ ACB =45CXI MC砺=〒0M【解析】分析：(1 )连接0B ，欲证平面：,只需证明所以_讣m 兀H .由已知得ABC .点匸作CH 1 OM ,垂足为M,只需论证tH的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP丄AC,且OP= .丄虫匚-AC连结OB •因为AB = BC=》畀，所以△ ABC为等腰直角三角形，且OB丄AC, OB= =2 .由⑴—任―;：：厂知，OP丄OB .由OP丄OB , OP丄AC知PO丄平面ABC .（2 ）作CH丄OM，垂足为H.又由（1 ）可得OP丄CH，所以CH丄平面POM .故CH的长为点C到平面POM的距离.所以点C到平面POM的距离为S .为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决•3. （I）见解析；（n）.AR I A Q A g 丄R 仁【解析】分析：方法一：（I）通过计算，根据勾股定理得 ..................... ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（n）找出直线ACi与平面ABB i所成的角，再在直角三角形中求解•方法二：（I）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出I：旳..…;TH.丄论勺再根据线面垂直的判定定理得结论，（n）根据方程组解出平面「的由题设可知OC=所以OM= , CH ==2 , CM =BC —=3勺，/ ACB =45=V.点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何, 属于易得分题，第一问多以线面的证明一个法向量，然后利用 ^匚】与平面ABB 】法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余 关系求解. 详解：方法 AB = 2,AA i = 4飞片=丄 A0,BB 1 丄= 2^2A.+ AB. = AA. 所以I 】 L 1故叫1 A i 0i(n)如图，过点匚」作0D 丄气Bi ,交直线于点D ,连结AD .AC ABB —因此，直线1与平面 】所成的角的正弦值是B .(I)由由阮=2,叫.( 丁 I ' I •得，得AB L 1因此平面A.B.C 所以“門是叫与平面入叫所成的角•学科.网方法(I)如图，以AC的中点0为原点，分别以射线OB , OC为x, y轴的正半轴，建立空A(O F- ^O)f B(l#O r O)F A1(O r-厨由](14习心0 岳H 因此爲疔仏也2),前厂⑴扣2“心=02打耳由汕®得吗丄対斗由冶佔"得AB」伍所以卜'J平面卜"IAC AHB a(n)设直线与平面所成的角为.由([)可知厂;加占止皿 f 小洱-(/公设平面啲法向量AC ABB逻因此，直线丄与平面】所成的角的正弦值是B.点睛：禾U用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.4 • (I)（n）见解析（川）AB【解析】分析：（I）由题意得// AB，故/ 丄是异面直线A i G与AB所成的角，解三角形可得所求余弦值.（n）在三棱柱n ®冋二中，由丄平面ABC可得丄AiG,于BB是丄AiG ,又AiG丄’,根据线面垂直的判定定理可得结论成立. （川）取的中点H , 连接AH , HG ;取HG的中点O,连接OP, .由PO//A iG可得肌:平面故得/ PCiO是PC1与平面所成的角，然后解三角形可得所求.详解:A 8⑴•///AB ,A R•••/ G 是异面直线与AB所成的角.=2 , G 为BC 的中点,Ai G 丄B iCi,RtAGA.B中,Z A L GB£90-::即异面直线AG与AB所成角的余炫值为.（II ）在三棱柱ABC-A^C中,丄平面ABC , A^C平面ABC ,丄AiG ,_L A iG ,又AiG丄.气G丄平面（III ）解：取BC 的中点H，连接AH , HG ;取HG的中点O ,连接OP,0C•/ PO//A iG ,•••：平面，点睛：用几何法求求空间角的步骤: ①作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：证明作出的角为所求角；③求:把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题.5 . (1)见解析；(2).【解析】试题分析：(1 )由题意，可取PC中点M，连接EMFM，则易知平面EMF //平面P冉D由条件易证AE丄平面PAD,则丄平面又EFU平面EMF|,根据线面垂直的定义，从而问题可得证；(2)由题意，采用坐标法进行求解，可取加)中点为坐标原点，过。
点作平行于.的直线为•轴，为•轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面I出H和平面的法向量，结合图形，二面角B~EF_C为锐角，从而问题可得解•试题解析：(1 )取卩^中点M，连结EM, FM,...ABdD是正方形，.•. AE丄又= PB 辭丄丄面PAD,・.》B1PD,又•••£, E M 都是中点EM"RC, MF〃PD,•网丄面EMF,• I I :…(2 )建立如图空间直角坐标系，由题意得g詢，电詞飞訶，弔舗，则I )r .3^1BF十詁0 EF屮矿计CF= --A0)•••/ PCiO是PCi与平面ecc i B!所成的角.直线PC］与平面”匸5日；所成角的正弦值为令心，则W同理得平面的法向量为.',I I们1」cos < n.T n n >-I 创何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论6 . （1）见解析（2）见解析（3）弦值为 •详解：（1）证明：连接DE = -AC,又F 为棱®5的中点,•.坷F"E AJ//DE（2 ）证明：T 是T fn t * BF = 0―严广0设平面 1BEF 的法向量为叫“勺旳叫）,则 h'FF =0,即 JvrT 2i = 0点睛：此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明, .面角的三角函数值的求解， 以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能, 属于中档题型，也是常考题型•坐标法在解决立体几何中的一般步骤,是根据图形特点， 建立空间直角坐标系； 二是将几，所以他的余弦值是【解析】分析：（1）先证明 EF//DA. ，再证明EF"平面亠8•（2）先证明 ，再证明平面A L CD 丄平面1A.A0B.（3）利用异面直线所成的角的定义求直线 EP 与直线 爲①所成角的正 •••°、分别是期、BC的中点,•••三棱柱中...卜AC = A 1C 1•••四边形 "是平行四边形，•EF //DA I又•••平面 平面A 2CD ,..EF 〃平面A .CD 平面 ABC CD c 平面ABC z，得叫=（乙1丽,.AA L1 CD AA X n AB = A平面M B&i；(3 )解：•••卸叫严从孔严严为直线EF与直线缺丄所成的角.设三棱柱ABC'A i B l C i的棱长为-则心孑，,卩』代 + 心==^= T即直线E4与直线气以1所成角的正弦值为T.点睛：(1 )本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2)求空间的角，方法一是利用几何法，找作•证扌旨求•方法二是利用向量法7 . (1 )见解析(2 )【解析】分(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE丄平面BDEF ;⑵建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解详解：(I)在厶ABD 中，/ ABD = 30 °，由AO2 = AB2+BD 2— 2AB • BD cos30 解得BD =，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得/ ADB = 90 ° • AD丄BD .又因为DE丄平面ABCD , AD 平面ABCD , • AD丄DE .又因为BD厂DE = D，所以AD丄平面BDEF，又AD平面ABCD ,•平面ADE丄平面BDEF ,(H)方法一：如图，由已知可得= , ^A&D= 30，则^B13C = 3°，则三角形BCD为锐角为30。