高三立体几何专题1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析 （Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以又， 故在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 2.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD ACBD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ⊄PAD PD ⊂PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PACPCD PC =DN ⊥PAC PA ⊂PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3DN DAN AD ∠==AD PAC 3111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==EF BC ⊥2.（I ）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥A C. 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥B C.（Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（I ）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上.连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）. 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1EEG. 由于O 为A1G 的中点，故， ⊂122A G EO OG ===所以．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是． 3．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为_____． 3．8π【解析】由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高，设圆锥的母线长为l ， 则由SA SB ⊥，SAB △的面积为8，得2182l =，得4l =，在Rt ASO ∆中， 由题意知30SAO ∠=，所以122SO l ==，AO ==故该圆锥的体积22112833V AO SO πππ=⨯⨯=⨯⨯=．4．如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．4．【解析】(1)由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅35OCBASM A BCD(2)取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以DMN ∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ．在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD(3)连接CM ．因为ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM =．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt CAD ∆中，4CD ==．在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==． 所以，直线CD 与平面ABD． 5．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．NM A BCD(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．5．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C 由2AB BC ==，120ABC ∠=得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．C 1B 1A 1CBA由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C11A B =11AC =得111cos C A B ∠=111sin C A B ∠=，所以1C D =，故111sin C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB6．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．DABCA 1B 1C 16．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得AP ==cos AD DAP AP ∠==．所以，异面直线AP 与BC ．（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C ．（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2．又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得DF ==在Rt △DPF 中，可得sin PD DFP DF ∠==．所以，直线AB 与平面PBC ． 7．如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．7．【解析】（Ⅰ）如图，设PA 中点为F ，连结EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以EF ∥AD 且12EF AD =， 又因为BC ∥AD ，12BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ， 因此CE ∥平面PAB ．（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ． 因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ． 由PAD ∆为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．EDCBAPDA所以 AD ⊥平面PBN ， 由BC ∥AD 得 BC ⊥平面PBN ， 那么，平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD =得CE =，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB =得14QH =， 在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ =，所以 2sin 8QMH ∠=， 所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28． 8．如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB =2，BC =EF =1，AE 6，DE =3，∠BAD =60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：FG ∥平面BED ； (Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.8．【解析】（Ⅰ）证明：取BD 的中点为O ，连接OG OE ,，在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以DC OG //且121==DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又⊄FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，所以//FG 平面BED ．FDABG（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ；平面 AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED ．（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在AHB Rt ∆中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以直线AB与平面BED 所成角的正弦值为65．9．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，BA BD ==，2AD =,PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60， （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； （ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．9．【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，故MF //BC 且MF =12BC ．由已知有BC //AD ，BC =AD ．又由于E 为AD 中点， 因而MF //AE 且MF =AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF //AM ，又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ， 所以EF //平面PAB .（Ⅱ）（i ）证明：连接PE ，BE ．因为PA =PD ，BA =BD ，而E 为AD 中点， 故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P -AD -B 的平面角．在三角形PAD 中，由2,AD PA PD ===PE =2．在三角形ABD 中，由BA BD ==BE =1．在三角形PEB 中，PE =2，BE =1，60PEB ∠=，由余弦定理，可解得PB 90PBE ∠=，即BE ⊥PB ，又BC //AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ， 所以平面PBC ⊥平面ABCD ．（ii ）连接BF ，由（i ）知BE ⊥平面PBC ．所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB PA ，AB 得∠ABP 为直角，而MB =12PB ，可得AM ，故EF ，又BE =1，故在直角三角形EBF 中，sin BE EFB EF ∠==所以直线EF 与平面PBC ． 10．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB =BC =2，AD =CD =7，PA =3，∠ABC =120°，G 为线段PC 上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面A P C ；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求PGGC的值．10．【解析】（Ⅰ）设点O为AC，BD的交点，由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．所以BD⊥平面APC．（Ⅱ）连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．由题意得OG＝12 PA在△ABC中，AC所以OC＝12AC.在直角△OCD中，OD2.PD B在直角△OGD 中，tan ∠OGD＝3OD OG =. 所以DG 与平面APC. （Ⅲ）连结OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在直角△PAC 中，得PC所以GC＝AC OC PC ⋅=从而PG， 所以32PG GC =. 11．如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2BC ，∠ABC =120°．E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点．（Ⅰ）求证：BF ∥平面A DE '；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值． 11．【解析】 (Ⅰ)取A D '的中点G ，连结GF ，CE ，由条件易知FG ∥CD ，FG =12CD ．BE ∥CD ,BE =12CD ．所以FG ∥BE ，FG =BE ． 故四边形BEGF 为平行四边形，所以BF ∥EG ．因为EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE ，所以 BF//平面'A DE ． （Ⅱ）解：在平行四边形,ABCD 中，设BC=a ，则AB=CD=2a ，AD=AE=EB=a ， 连CE ，因为0120ABC ∠=．在△BCE 中，可得CE a ， 在△ADE 中，可得DE =a ，在△CDE 中，因为CD 2=CE 2+DE 2，所以CE ⊥DE , 在正三角形'A DE 中，M 为DE 中点，所以A M '⊥DE . 由平面'A DE ⊥平面BCD , 可知A M '⊥平面BCD , A M '⊥CE . 取A E '的中点N ，连线NM 、NF ， 所以NF ⊥DE ，NF ⊥A M '. 因为DE 交A M '于M ， 所以NF ⊥平面'A DE ，则∠FMN 为直线FM 与平面'A DE 新成角．在Rt △FMN 中，NF a , M N =12a , FM =a ， 则cos FMN ∠=12． 所以直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值为12．。