22.2 降次——解一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节的主要内容是一元二次方程的解法。

这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。

主要学习下列三个内容：1.配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。

2.公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

3.因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

4.整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计[备选题目]的问题。

点击一：利用直接开平方法解一元二次方程 用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。

针对练习1: 方程（x －5）2＝6的解是 . A. 5+6,5+6 B. －5+6,－5+6C. 5+66,5－6D. －5+6,－5－6【解析】方程两边开平方,得x －5＝±6，x ＝5±6.【答案】5+66,5－6点击二：利用配方法解一元二次方程配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。

任何一个形如bx x +2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。

实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。

针对练习2: 解下列方程：(1)x 2－12x +5=0; (2)x 2－2x －8=0;答案： (1)移项，得x 2－12x =－5,配方，得x 2－12x +36=－5+36,(x －6)2=31，解这个方程，得x －6=±31.即x 1=6+31,x 2=6－31.(2) 移项，得x 2－2x=8,x 2－2x+1=9,配方，得(x －1)2=9.解这个方程，得x －1=±3,即x 1=4,x 2=－2.点击三：利用公式法解一元二次方程我们可以通过配方法推导出求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解的公式)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x ，称为求根公式。

用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出ac b 42-的值，若ac b 42-≥0，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的根；若ac b 42-＜0，则原方程没有实数根。

针对练习3: 用公式法解方程.(1)5x+2=2x 2； (2)23t 2+4t －2=0. 【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.【解答】(1)∵a=2,b=－5,c=－2,∴b 2－4ac=25+16=41>0.∴x=4415±.∴x 1=4415+,x 2=4415-. (2)∵a=23,b=4,c=－2, ∴b 2－4ac=16+12=28>0.∴t=3284+-. ∴t 1=3724+-,t 2=－3724+. 点击四：利用因式分解法解一元二次方程当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。

要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。

如使方程x （x －3）=0的条件是x=0或x －3=0，x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x （x －3）=0有两个根。

针对练习4: 用分解因式法解方程：（1）3(2)5(2)x x x -=-；（2）22(1)1t t -+=；（3）22(31)4(23)0x x --+=． 答案：（1）12325x x ==，； （2）12112t t ==，； （3）12577x x =-=-，．类型之一：直接开平方法例1．方程（X —2）2=9的解是______ 【解析】本题利用直接开平方法，把（x －2）看成是一个整体。

【解答】125,1x x ==-类型之二：配方法例2用配方法解下列一元二次方程：（1）x 2+12x=9 964； （2）9x 2－12x=1【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，因此方程的左边应先化成（ax+b ）2•的形式．对于第（1）小题，配方较为容易，只需两边都加上36即可．对于第（2）小题，联想公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，应在方程两边都加上4，才能把左边的式子化成（ax+b ）•的形式． 【解答】（1）x 2+12x=9 964．两边都加上36，得x 2+12x+36=9 964+36．即（x+6）2=10 000．∴ x+6=100，或x+6=－100．解得x 1=94，x 2=－106．（2）9x 2－12x=1．两边都加上4，得9x 2－12x+4=1+4，即（3x －2）2=5．∴ 3x －2=5，或3x －2=－5．解得 x 1=253+，x 2=253-． 类型之三：公式法例3解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0； （2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ．【解析】把一元二次方程化成一般形式，然后计算b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，把各项系数a ， b ， c 的值代入求根公式x =242b b ac a -±- (b 2－4ac ≥0)就可得到方程的根． 【解答】（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49，所以47122491242±-=⨯±-=-±-=a ac b b x ，即23,221=-=x x ．（2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24，所以622244±-=±-=x ．即62,6221--=+-=x x ．（3） 因为2b －4ac ＝256，所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ．得2,5621=-=x x ．（4） 整理，得42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0，所以8012±-=x ，即2321-==x x ．类型之四：因式分解法例4：解方程1.x 2－25=02.(x+1)2=(2x －1)23.x 2－2x+1=44.x 2=4x 【解答】1.解：(x+5)(x －5)=0∴x+5=0或x －5=0∴x 1=5,x 2=－52.解：(x+1)2－(2x －1)2=0(x+1+2x －1)(x+1－2x+1)=0∴3x=0或－x+2=0，∴x 1=0,x 2=23.解：x 2－2x －3=0(x －3)(x+1)=0∴x －3=0或x+1=0，∴x 1=3,x 2=－14.解：x 2－4x=0x(x －4)=0∴x=0或x －4=0，∴x 1=0,x 2=4类型之五：综合应用例5. 阅读理解．例如：因为2256(23)23x x x x ++=+++⨯，所以256(2)(3)x x x x ++=++．所以方程2560x x ++=用分解因式法解得2132x x =-=-，． 又如：2256[2(3)](2)(3)x x x x -+=+-+-+-⨯-．所以256(2)(3)x x x x -+=--．所以方程2560x x -+=用分解因式法解得1223x x ==，． 一般地，2()()()x a b x ab x a x b +++=++．所以2()0x a b x ab +++=，即()()0x a x b ++=的解为12x a x b =-=-，．请依照上述方法，用分解因式法解下列方程：（1）2870x x ++=；（2）211280x x -+=．【解答】（1）1217x x =-=-，；（2）1247x x ==，．1. 解下列方程：(1)x 2－25=O ； (2)16x 2一49=0； (3)(x 一5)2－36=0； (4)4(6x 一1)2=3【解析】（1）利用开平方法可解形如x 2=a(a≥0)的方程．(2)如果把x 一5看作一个字母y,就变成解方程y 2=36了.也就是说，如果一个一元二次方程的一边是一个含有未知数的式子的平方,另一边是一个非负的常数,那么这个一元二次方程就可以用开平方法来解,即形如(x －a)2=b(b≥0)的一元二次方程都可以用开平方法来解.【解答】（1）移项,得x 2=25.∵x 是25的平方根，∴x=±25，即x=±5。

∴x 1=5,x 2=－5.（2）移项，得16x 2=49,x 2=1649. ∴x 1=47,x 2=－47. (3)移项，得(x 一5)2=36，即x 一5=6或x 一5=一6，∴x 1=11, x 2=－1.(4)方程两边都除以4，得(6x 一1)2=436， 6x －1=±3,6x －1=3或6x －1=－3,6x=4或6x=－2,∴x 1=32,x 2=－31 2. 用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ．【解析】配方法是以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法．即把一元二次方程的常数项移到方程的右边，把左边配成一个完全平方式，此时，如果右边是一个非负数，就可以通过直接开平方法求出方程的解来．【解答】（1）移项，得762=-x x ．方程左边配方，得 32237332+=+⋅⋅-x x ，即16)3(2=-x ． 所以 x －3＝±4．得 1,721-==x x ．（2） 移项，得132-=+x x ．方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ， 即45)23(2=+x ． 所以2523±=+x ． 得2523,252321--=+-=x x x ． 【点评】配方法本身是一种方法，它是公式法的基础，是一种基本的代数方法．它以配方为手段，而以直接开平方法为基础，适用于任何特点的一元二次方程，但过程较繁；3. 已知方程3x 2+4x=0,下列说法正确的是( )A.只有一个根x=34 B.只有一个根x=0 C.有两个根,x 1=0,x 2=－34 D.有两个根,x 1=0,x 2=34 【解析】C ∵b 2－4ac=42－4×3×0=16,∴x=32164⨯±-=644±-,x 1=0,x 2=－34. 4. 用分解因式法解下列一元二次方程：(1)(x －1)(x+3)=12; (2)(3x －1)2=4(2x+3)2.【解析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再分解因式；(2)先将方程右边的代数式移到左边，再用平方差公式分解因式.【解析】(1)x 2+3x －x －3－12=0,x 2+2x －15=0,(x －3)(x+5)=0,x －3=0或x+5=0.∴x 1=3,x 2=－5.(2)(3x －1)2－［2(2x+3)］2=0,［3x －1+2(2x+3)］［3x －1－2(2x+3)］=0,(3x －1+4x+6)(3x －1－4x －6)=0,(7x+5)(－x －7)=0,7x+5=0或－x －7=0,∴x 1=－75,x 2=－7.1. 一元二次方程x 2－9=0的根为( )A. x=3B. x=－3C. x 1=3,x 2=－3D. x 1=0,x 2=3【解析】C 可解形如x 2=a(a≥0)的方程.2. 用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A.x 2+2x －99=0化为(x+1)2=100B.2x 2－7x －4=0化为(x －47)=1681 C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x －4x －2=0化为(x －32)2=910 【解析】C 检验的办法是把配方后的结果展开对照.3. 解方程0342=--x x ．【解答】移项，得243x x -=，配方，得2224(2)3(2)x x -+-=+-，2(2)7x -=． 解这个方程，得72±=-x ，即1222x x ==4. 用公式法解方程.(1)5x+2=2x 2； (2)23t 2+4t －2=0. 【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.【解答】(1)∵a=2,b=－5,c=－2,∴b 2－4ac=25+16=41>0.∴x=4415±.∴x 1=4415+,x 2=4415-. (2)∵a=23,b=4,c=－2, ∴b 2－4ac=16+12=28>0.∴t=3284+-.∴t 1=3724+-,t 2=－3724+. 5. 已知一元二次方程 x 2－2x ＋1=0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＋x 1·x 2的值是 .A.3B.2C.－3D.－2【解析】由根与系数的关系，得：x 1＋x 2=2 ，x 1·x 2=1 。