习题8-3答案（A ）1、求下列函数的极值：（1）极小值点（0,1）；极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值.解：解方程组得22330330zx y xz y x y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得驻点(0,0),(1,1)由于222226,3,6z z zx y x x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂，故在(0,0)处290AC B -=-<，函数z 不取得极值；在(1,1)处有2270AC B -=>，且60A =>，函数z 在点(1,1)处取得极值，且极小值为1z =-。
(3)极大值点（0,0），极大值1；且（0,0）点为不可导点 (4)极小值点（5,2），极小值302 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .(,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++-对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=⎫⎪=++=⎪⎬=++=⎪⎪=-=⎭求上述方程组的解, 得33422,2x y z a aλ====-. 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为34a, 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =.3.提示：分别以x 、y 表示矩形的长、宽，则 222x y p +=（约束条件）,所求圆柱体体积为2V x y π=构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-，则2220,20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=⎫⎪=+=⎬⎪=+-=⎭解得2x y =，代入约束条件得：23x p =13y p =；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。
4.求函数u xyz =在条件222124x y z ++=之下的极值。
解：构造辅助函数222(,,,)(1)24x y F x y z xyz z λλ=+++-，则 2220,0,220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=⎫⎪⎪=+=⎪⎬=+=⎪⎪=++-=⎪⎭前三个式子联立去掉λ，得22224x y z ==，结合第四个式子得到结果为2221243x y z ===。
所以驻点有八个（+，+，+）（+，+，-）（+，-，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，-）。
其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。
(其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0，或者x =0，y =0及z=0,因为此时它们的函数值为0，不是极值点。
5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。
解：设此半球的方程为2222,0x y z R z ++=≥，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ，则内接长方体体积22224,V xyzx y z R =++=。
考虑函数()()2222,,,4F x y z xyz x y z R λλ=+++-2222420420420yz x xz y xy z x y z Rλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩解此方程组得33R x y z ===，（注意0,0,0x y z >>>） 半球内体积为最大的内接长方体的体积为3439R 。
（B)1）求)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.解：⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0)22(0)2(22222y e f e y y x e f xy xx x 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-==121y xe f A xx 2)1,21(=-= 0)1,21(=-=xy f B e f C yy 2)1,21(=-=故 0422>=-e B AC 而,02>=e A 故e f 21)1,21(-=-为极小值。
2.(,)sin sin sin(){(,)0,0,}(,)sin sin sin()=sin sin-sin cos cos sinsin-sin cos sin cos sinsin(1cos)sin(1cosf x y x y x yd x y x y x yf x y x y x yx y x y x yx x y y x yx y y xπ=+-+=≥≥+≤=+-++-=+-=-+-求函数在区域上的最大值最小值。
解：首先由函数在有界闭区域上连续，所以一定存在最大值和最小值，且)(,)0(,)sin sin sin()sin sin2(,)0x000.0.=(,)sin sin sin()=,,)sin sif x yx yf x y x y x y x yf x yyx yf x y x y x yx yF x y xπππλ≥≤+≤=+-+≤+≤≥≥==+=+-+⎧⎨+⎩=+由函数的定义域知又由0，初步判定2由于函数最大值只能在极值点和边界点取得。
函数在边界和时，对应函数值都为所以函数有最小值为在边界上，构造条件极值函数（n sin()(-)cos cos()0cos coscos cos()0==-=0=(,)sin sin sin()=2 =22222222.cos cos()0xyxy x y x yF x x yx yF y x yx yF x yx yx y fx yf x x yfλλπλλππππππππππ-+++=-++=⎧=⎧⎪=-++=⇒⎨⎨+⎩⎪+⎩=⎧⇒==+-+⎨+⎩=-+=，此时此时函数取得最大值在定义域的内部，函数不存在偏导数不存在的点，且cos cos()cos cos()0cos cos()(0=0,20yx x yy x y y x yx y x yx x yx yy x yπ=+⎧⎧⇒⎨⎨=-+==+⎩⎩+=+⎧⇒⇒=⎨=+⎩因为、、都在【，】内，在此区间余弦函数为单调递减的）（舍去因为已经不在区域的内部了）综上所述函数有最大值和最小值，且都在边界点取得。
3 解条件极值问题为：222(2)2x ydy x⎧--=⎪⎨⎪=⎩构造辅助函数22(2)(,,)()2x y F x y y x λλ--=+-求驻点2220(2)001214112722482x y F x y x F x y F y x x y λλλ=---=⎧⎪=---+=⎨⎪=-=⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩--=解得：解得唯一的驻点，即为所求的最值点最短距离d=4 为 ：2222(16)(,)2x y f x y d x y +-=++转化为求函数=的极值无偏导数不存在的点，求驻点求驻点2(16)02(16)044x y f x x y f y x y x y =++-=⎧⎨=++-=⎩=⎧⎨=⎩解得唯一的驻点：，即为所求的最值点5.证明：函数()1cos y y z e x ye =+-有无穷多个极大值点，但无极小值点。
证明：()()1sin ,cos 1y y y z ze x e x y e x y∂∂=-+=-+∂∂ 解方程组()()1sin 0cos 10yy e x e x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩可得0,0,1,2,,2k x k k y k π⎧⎪==±±=⎨-⎪⎩ 是偶数为奇数即可得驻点()()2,0,2,2k k πππ+-，其中k 为整数。
()()222221cos ,sin ,cos 2y yy y z z z A e x B e x C e x y e x x y y∂∂∂==-+==-==-+∂∂∂∂1）当2,0x k y π==时，2,0,1A B C =-==-，因为0,0AC B A -><，所以这些点是极大值点。
2）当2,2x k y ππ=+=-时，22111,0,A B C e e=+==-，因为0AC B -<，所以这些点是不是极值点。
6（1）求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
做辅助函数：44(,,,,)()(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)0x y z tF x y z t x y z t xyzt a F x y z t yzt F x y z t xzt F x y z t xyt F x y z t xyz F x y z t xyzt a λλλλλλλλλλλλ=++++-=+=⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪=-=⎪⎩解得唯一的驻点（a,a,a,a)即为所求。
(2)求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ 02=++=μλx yz L x ,2=++=μλy xz L y ,02=++=μλz xy L z ,得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222, （1）又 1222=++z y x ,（2） 0=++z y x , （3）由（1）得 )()(222x y y x -=-μλ ，)()(222y z z y -=-μλ, 当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y 故得z x =，代入（2）（3）式得 1222=+y x ,02=+y x .解得稳定点)61,62,61(1-P ，)61,62,61(2--P . 由对称性得)61,61,62(4,3±± P ，)62,61,61(6,5 ±±P 也是稳定点. 7．抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离.解: 设椭圆上点的坐标),,(z y x ,则原点到椭圆上的距离的平方为2222z y x d ++=其中z y x ,,需同时满足22y x z +=和1=++z y x令 =),,,,(21λλz y x F 222z y x ++)(221y x z --+λ)1(2-+++z y x λ, 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=--=++==+-==+-=0100202202222212121z y x y x z z F y y F x x F z y x λλλλλλ 13213223x y z ⎧-±=⎪⎪⎪-±⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩可得: 359min -=d , 359max +=d8.求由方程22222880x y z xz z +++-+=确定的隐函数(,)z f x y =的极值 。