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弹塑性理论回顾： 德鲁克（Drucker ）公设?依留辛公设？ 屈服准则 流动—正交法则 硬化规律
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弹性－完全塑性
增量弹塑性
刚塑性
几种塑性模型
d ij d d
e ij
p ij 4
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不同塑性模型的应用
1)刚塑性理论-极限平衡法：刚体滑动法、各种条分法、
f f df d ij dH 0 ij H f f H p d ij d ij 0 ij H ijp f f H g d ij d 0 p ij H ij ij
T f f d ij d ij d T f H g f H g p H ijp ij H
T
f d d A
T
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A:塑性硬化模量
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2.5.4弹塑性本构模型的模量矩阵的一般表达式
d d
e
d
p
T
f d d A
g [ D]d [ D]d [ D]d
B 为屈服点；
A´非屈服点
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2. 屈服函数 (yield function, yield equation) 屈服准则的数学表达式
f ( ij , H ) 0
对于刚塑性和弹性－塑性模型：H为常数；
对于弹塑性模型：H一般是塑性应变的函数。
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e
{d}
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g f D D d ＝Dd d T f g A＋ D
T g f D D ＝ D T d f g A＋ D ＝D ep d
滑移线法（不计变形，不计过程）。
2)弹－塑性理论：在一定范围为弹性，超过某一屈服条件 为塑性变形。数值计算中出现“塑性区”。 3)（增量）弹塑性理论模型：一开始就是弹塑性变形同时 发生，不能够分开，屈服面不断发展。
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2.5.2屈服准则与屈服面
1. 屈服准则
2. 屈服函数
3. 屈服面与屈服轨迹
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4. 土的屈服面与屈服轨迹的形状
1）由于土是一种摩擦材料，人们认为只是在应 力比变化时颗粒间才会相对滑动位移（MohrCoulomb, ；广义Mises；广义Tresca: 锥形屈 服面)
q q
p
锥形屈服面
射线屈服轨迹
p
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2) 又由于土在各向等压条件下也会发生颗粒相对 运动，土变密实，所以出现各种“帽子”屈服 面（Cam-clay；清华模型）
dp Mpd
'
dp ' p ' d v Mp ' q ' d ' 1 e p
（10）＝（1） ＋（9)
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1 ' d d v dp ' 1 e p
p V
(11)
p d Mp q d
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各向等压的加载与卸载
v=N- lnp：初始加载 v=v- lnp：回弹曲线
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2.6.2 超固结土及完全的物态边界面
1.正常固结粘土 2.轻超固结粘土：OCR比较小，卸载范围不大 3.强超固结粘土：OCR很大, 卸载后的应力比先 期固结应力小很多
2.6.3 弹性墙与屈服轨迹
1. 弹性墙
正常固结粘土与轻超固结粘土（wet clay)
各向等压固结: 加载：NCL 卸载－弹性墙
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弹性墙
弹性墙
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2. 能量方程
dE p d v q d
' '
（1）
变性能＝弹性变性能＋塑性变性能
dE dW dW
C-U：固结不排水试验有效应力路径
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NCL: normal consolidation line CSL: critical state line q=M p v=N- lnp（NCL)
N
v=- lnp (CSL) p＝exp(-v)/

正常固结粘土的排水与不排水应力路径
（6）
dW
e
pd
e v


1 e
dp ' （7）
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2) 假定塑性变性能可表示为：
dW p Mpd
p p V
p
Mpd
p
（8）：这是一个重 要假设
（4） （9）＝ （8）＋ （7）
dW pd qd
dE dW dW
e p

1 e
T
相适应 f=g
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2.6 土的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面
2.6.2 超固结土和完全的物态边界面
2.6.3 弹性墙与屈服轨迹 2.6.4 修正的剑桥模型
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2.6.1 正常固结粘土的物态边界面
三轴应力状态：
偏应力： q=
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d
P ij
g d ij
f d d T f H g p H
T
f A H
H g p
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试验搜索屈服点 认为A与A´在同一屈服面上
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三轴试验与真三轴试验确定塑性应变增量方向
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2.5.3流动规则与硬化定律
1. 流动规则 (flow rule) 2. 硬化定律 (strain-hardening law)
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e
p
（2）
其中
dW pd qd
e e v
e
dW pd qd
p p v
p
（3）
（4）
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塑性变性能的基本假设：
1）假设一切剪应变是不可恢复的，亦即：
d 0
e
（5）
dv e dp ' e d V 1 e 1 e p'
4. 土的屈服面与屈服轨迹的形状
5.土的屈服面与屈服轨迹的确定
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1. 屈服准则(yield criterion) 判断是否发生塑性变形的准则 －判断加载与卸载的准则
A B B
B
A
A
A
B
A、B在屈服面上， A B不在屈服面上 屈服－弹塑性应变的判断准则
加卸载的判断（应变硬化情况）
f d ij 0 ij
为加载，同时发生弹性、 塑性变形
f 0
f d ij 0 ij
为中性变载，只产生弹性变形
f d ij 0 ij
为卸载，只产生弹性变形
f <0 在屈服面之内，弹性变形
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3. 屈服面与屈服轨迹 屈服面－屈服准则在应力空间中的几何表示： 1)三维应力空间：屈服面 2)二维应力空间：屈服轨迹
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dpij
dij
ij
Drucker 公设：对于稳定材料：
1）屈服面的外凸性
d ij d
P ij
0
2）与塑性应变增量向量的正交
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锥形屈服面与帽子屈服面 q
dpij dpij
p 与两种屈服面的正交的塑性应变
表现土的塑性剪胀与剪缩，锥形屈服面会使剪胀量过大， 20 一般采用不相适应的流动规则
完全的物态边界面
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浙江工业大学建筑工程学院 完全的物态边界面
包括超固结土的 完全的物态边界 面－(状态只能在 面内和面上）
完全的物态边界面
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HS
超固结
CS
正常固结
排水试验的应力体变曲线
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正常固结土与超固结土的应力路径
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H-UH: 不排水试验,负孔压，
pm
强度超过临界状态线 峰值强度（TS)与残余强度 （临界线上）
排水试验的应 力应变曲线
36 重超固结粘土的路径
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完全的物态边界面： 0T：零应力线（无拉应力） TS：超固结土的强度线-Hvorslev面 CS：v=常数的Roscoe 面
包括了正常固结土、重超固结土的 可能的（极限）应力状态
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T
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g f D D Dep＝D T f g A＋ D
T
不相适应fg
f f D D Dep＝D T f f A＋ D
q q
p
q p
帽子屈服面
p