第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：1σ=20σ=；3σ=设σ2与三个坐标轴x 、y 、z 的方向余弦为：l 21、l 22、l 23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。

()()()()()()21222232321222232321222322122010203x yx xz xz yx y yz zy zx zy z yx zy l l l l l l l l l l l l l σσττττσσττττσσττ⎧-++==⎪⎪+-+==⎨⎪++-=+=⎪⎩以及：()22221222314l l l ++=由（1）（2）得：l 23=0 由（3）得：2122l a l b =-；2221l b l a=-； 将以上结果代入（4）式分别得：21l ===；22l ===；2122al l b =-22l ∴==同理21l = 于是主应力σ2的一组方向余弦为：（，22b a b+，0）；σ3的一组方向余弦为（2±）； 2—20.证明下列等式： （1）：J 2=I 2+2113I ； （3）：()212ii kk ik ik I σσσσ=--； 证明（1）：等式的右端为：()()22211223311231133I I σσσσσσσσσ+=-+++++()()22212312233112233112223σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++ ()()()222123122331122331246666σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++22212312233126σσσσσσσσσ⎡⎤=++---⎣⎦22222211222233331112226σσσσσσσσσσσσ⎡⎤=-++-++-+⎣⎦()()()222122331216J σσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦故左端=右端 证明（3）：()212ii kk ik ik I σσσσ=-- 右端=()12ii kk ik ik σσσσ- ()()()222222122x y z xy yz zx x y z x y z σσστττσσσσσσ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦ ()()2222222221222x y z xy yz zx x y z x y y z z x σσστττσσσσσσσσσ⎡⎤=+++++----++⎣⎦()2222x y y z z x xy yz zx I σσσσσστττ=-++---=2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a 、b 、c 均为常数）(1):()22200000ij c x y cxy cxy cy ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2): ()()()()222222222210210211022ij axy ax by ax y az by ax by az by ε⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦(3): ()22200000ij c x y z cxyz cxyz cy z ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解（1）：由应变张量εij 知：εxz =εyz =εzx =εzy =εz =0 而εx 、εy 、εxy 及εyx 又都是x 、y 坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。

将εx 、εy 、εxy 代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂ 也即：2c +0=2c 知满足。

所以说，该应变状态是可能的。

解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：222222222222222222222y xyx y yzz x zxz xy yz zx x xy yz y zx yz xy zx z y x x yz y y z x z z x x y z x y z y z x y z x z x y z x y εγεεγεεγεγγγεγγεγγγγε⎫∂∂∂+=⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+=∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂+=∂∂∂∂⎬∂∂⎛⎫∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫∂∂+-=⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭………………………………（1） 202000002220cz cz cy cy cx +=⎫⎪+≠⎪⎪=⎬⎪=⎪≠⎪⎭不满足，因此该点的应变状态是不可能的。

第三章：弹性变形及其本构方程3-10．直径为D=40mm 的铝圆柱体，紧密地放入厚度为=δ2mm 的钢套中，圆柱受轴向压力P =40KN 。

若铝的弹性常数据E 1=70G a p .V 1=0.35,钢的弹性常数E =210G a p 。

试求筒内的周向应力。

钢钢钢E q q E 10102.02104122=⨯⨯⨯⨯=--ε∵ 钢铝εε= q =2.8MN /m 2钢套 228/2qDMN m t θσ==t qv r 2=σ ； tqr=θσ ； 0=z σ ； 1εσ⋅=E r ；4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明v =0。

证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。

前者称为体变，后者称为形变。

并且可将一点的应力张量σij 和应变张量εij 分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。

ij m ij ijijm ij ij s e σσδεεδ=+⎧⎨=+⎩ 而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。

通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：()()3122m m e ij ijk k s Ge σε⎧==⎪⎨=⎪⎩ (1) 式中：e 为体积应变 1231x y z e I εεεεεε'=++=++= 由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力σm 确定，由e ij 中的三个正应力之和为令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。

这说明物体产生体变时，只能是平均正应力σm 作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。

物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。

由单位体积的应变比能公式：3122o ov od m m ij ij u u u s e σε=+=+；也可说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。

当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：221102o ov od xy xy v u u u G Eττ+=+=+= 由u o 的正定性知：E >0，1+v >0.得：v >-1。

由于到目前为止还没有v <0的材料，所以，v 必须大于零。

即得：v >0。

3-16．给定单向拉伸曲线如图所示，εs 、E 、E ′均为已知，当知道B 点的应变为ε时，试求该点的塑性应变。

解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。

由于B 点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB =ε=εe +εp 故：εp =ε-εe()()11e e s s E E E EE Eσεεσεεεεεε''=-=-+-=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 111s s s E E E E E E E E E E εεεεεε'''⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1s E E εε'⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；3-19．已知藻壁圆筒承受拉应力2sz σσ=及扭矩的作用，若使用Mises 条件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。

解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。

据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示）0θσ=，0r σ=，2sz σσ=；0r θτ=，z θττ=；0zr τ=；于是据miess 屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）ρ及扭矩M （遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：()()()()122222226s r z z r r z zr θθθθσσσσσσστττ⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦11222222266222s s sσσσττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+⎢⎥⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎦⎣⎦解出τ得：2sστ=；τ就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。