§4.2.1 圆的对称性设计理念数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人.教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时.教材分析圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.教学目标1.知识与技能理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明．2.过程与方法经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力．3.情感、态度与价值观通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.教学重点垂径定理及其推论的探索．教学难点垂径定理及其推论的证明．教学方法自主探究和合作探究相结合．教学过程一、创设情境，感知数学【问题1】通过上节课《圆》的学习，进一步认识了圆的意义.这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？［学情预设］学生凭借经验易想到用折叠的方法，如图，交点O就是圆心.【问题2】你怎么验证点O就是圆心呢？［学情预设］学生根据圆的概念能想到在圆上找一些点，测量它们与点O的距离.但需要找几个点，一个、两个、三个？还是更多？会有不同的见解.【问题3】在折叠的过程中，你从中知道圆具有什么性质?【问题4】圆的对称轴有几条？与学过的轴对称图形有什么不同？［学情预设］学生可能只会找到1条、2条、3条……让学生自己得出结论：无数条，对称轴是任意一条过圆心的直线.师出示课题.【问题5】这是一个硬币，你又有办法找出这个圆形硬币的圆心吗？［学情预设］有的学生会想到利用刚才的方法；有的学生会纳闷：不能折叠怎么办？为了有更多的方法确定圆心，我们来深入探究圆的有关概念与性质.［知识链接］圆上有两点到点O的距离相等，只能说明点O在该线段的垂直平分线上，不足以说明圆心.三个点还是更多，则是后面“确定圆的条件”探究问题.应用圆的不同性质来确定圆心的方法有许多.［设计意图］问题是数学的心脏，兴趣是最好的老师.设计一连串的问题情境引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又体验了圆的对称性及应用.二、师生互动，体验探究1.自主探究：学生阅读课本，学习圆的相关概念：弦、弧.（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？（3）什么是半圆？它与弧如何区别？（4）请你写出图中的优弧和劣弧，并思考如何才能不重复不遗漏？［学情预设］学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧，如同大于零的数是正数，小于零的数是负数，但零既不是正数，也不是负数一样.问题4，学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律.［设计意图］让学生带着问题读书，有效地提高他们自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题.2.合作探究：弦与弧之间的联系-----学习垂径定理及推论. 活动一：探究垂径定理①刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？（相交） 垂直是相交的特殊情况，从垂直的图中能得出哪些等量关系？(AB=CD 、OA=OB=OC=OD 、 AC = BC = AD = BD) ②若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？③思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？④把上述发现归纳成文字语言和几何语言.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤ ① CD 是直径 ③AM =BM ，④⌒AD=BD，② CD ⊥AB 于M ⑤ AC = BC. ［学情预设］问题2，多数学生会用画图、折叠、测量的方法猜想出结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明.［设计意图］用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在平移中体会知识的发生与发展过程，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的概括、总结的语言表达能力.活动二：探究垂径定理的推论 议一议：【问题1】把垂径定理中条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.【问题2】你还能找出其它类似的结论吗？并判断是真命题还是假命题？ 【引例】已知：如图⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为点M ，① 若半径R =5，OM =3，求AB 、CM 的长； ② 若半径R =5，AB =8，求OM 、CM 的长；③ 由①②两题的启发，你还能编出其它什么问题？［学情预设］ 问题1，大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立.问题2，有②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③……学生写不完整或重复，要引导找规律：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论，才能不重复不遗漏.［设计意图］对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性. 师生共同归纳：垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线会经过圆心，并且平分弦所对的弧.…… 【问题3】现在你有办法找出圆形硬币的圆心吗？ ［学情预设］作圆中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心. ［设计意图］首尾呼应，学以致用.三、应用新知，探寻规律【例1】：（7页例题）如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．(书本例题，可归为引例中哪种类型？)［设计意图］让学生在实践中悟出垂径定理应用：在四个量半径R 、弦AB 的长、弦心距OM 长、弓形高CM 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 练习1:在半径为50㎜的圆O 中，有长50㎜的弦AB ，计算：⑴点O 与AB 的距离；⑵∠AOB 的度数。
【例2】 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米， 圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。
若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB 的长。
若圆心到弦的距离用d 表示，半径用r 表示，弦长用a 表示， 这三者之间有怎样的关系？ 即右上图中的OE 叫弦心距. 习题：1、如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。
2、如图，圆O 的弦AB ＝8 ㎝ ，DC ＝2㎝，直径CE ⊥AB 于D ，求半径OC 的长。
3、在圆O 中，直径CE ⊥AB 于 D ，OD=4 ㎝，弦㎝ ，求圆O 的半径。
例3 已知：如图，在以O 为圆心 的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小 圆于C ，D 两点。
求证：AC＝BD 。
证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ， 则AE ＝BE ，CE ＝DE 。
AE －CE ＝BE －DE 。
所以，AC ＝BD2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a d r CCEADBO已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥求证：EC＝DF四、课堂小结，分享收获这节课在内容方面你学习了哪些知识？在方法方面你学会了什么？你还有什么疑惑、发现、体会与感悟与我们交流？想进一步探究的问题是什么？［设计意图］用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，提炼其中蕴含的数学思想方法，学会自我评价、自我反思，取长补短、资源共享.五、课后作业，加深理解完成课后的随堂练习和习题4.2，其中试一试为选做题；类比迁移今天的学习方法尝试探究圆的中心对称性.设计说明1.分析学情，拟定思路圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，学生在学习对称性时已有所有解.但“圆”的学习，学生由学习直线型到曲线型，对圆的性质进行全面深入的探究，要求进一步巩固和提高推理论证方法，熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程，在认识和思维上是一大飞跃.充分利用以前学习中积累的折叠、对称、平移、旋转、推理证明等经验展开探究，是突破本章学习的重要途径.2.整合教法，体现主体课堂设计符合学科特点和学生实际，创设“找圆心”情境新颖、有趣、自然，注重垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学，关注学生自主学习、合作学习和探究学习方式的指导，体现学生的主体地位，突出数学的运动变化、分类等思维与方法，开放教学过程，创设了和谐融洽学习氛围.3.创新教材，突显特色本节课大胆地对教材进行创新、变式，以连贯顺畅的问题情境和问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维.课堂设计体现了创——创设情境激兴趣，探——探索新知有合作，导——引导探究重方法，思——归纳反思促提高，学生在动口、动手、动脑活动中真正理解知识，获得了数学活动的经验，提升了能力.4.优化情境，贯穿教学找“圆心”这个问题情境具有可操作性、开放性、探究性，它的方法多种多样，依据的定理（垂径、圆周角、切线…）不同，方法也不同，它不仅可以是本节课的问题情境，而且可以作为贯穿圆一章学习或复习的问题情境.。