U~1 (x)
1 2
A1t1
exp[i(2fx 0 )]
k
1 x
2
f
s
in
1 1
k x 1 k 1
2f 2
f
U~0 (x) A1t0
0级波，方向 sin0 0
U~1 (x)
1 2
A1t1
exp[i(2fx 0 )]
+1级波，方向 sin 1
f
U~1 (x)
1 2
A1t1
exp[i(2f x
n1
an
(
ei
2
fnx
ei2 2
fnx
)
n1
bn
(
ei
2
fnx
ei2 2i
fnx
)
t0
an ibn ei2 fnx n1 2
an ibn ei2 fnx n1 2
t0
an2 bn2 ei2 fnxin
n1
2
2
2
a b e n
n i 2 fnxin
n1
2
t0
2
2
t(x) t0 t%nei2 fnx
n0
t0
n0
Lt%nei2 fnx
1 L
fn
nf
n L
T%e
i2 fn x
n
1 L
T%nei
2
fn
x
f
n
t(x)
t%n
1 L
L/2 t(x)ei2 fnxdx
L/2
t(x)
x
L
0L
x
2
2
对于非周期性函数g(x)，可视作周期为∞周期性函数
t(x) cos(2
fn x)dx
2
2
bn d
d
2 d
t ( x) sin(2
f n x)dx
2
2、余弦相移展开式
t(x) t0
a
n1 n
cos 2
fnx
b
n1 n
sin 2
fnx
t0
n1
an2 bn2 (
an an2 bn2
cos 2
fnx
bn an2 bn2
sin 2
UU~~12
(x, (x,
y) y)
~t (x, y) t(x, y) exp[ it (x, y)]
t(x, y) 屏函数的模。模为常数的衍射屏称为相位型
的 ，如透镜、棱镜等。
t (x, y)
屏函数的幅角即相位。幅角为常数的衍射屏称 为振幅型的 ，如单缝、圆孔等。
相因子判断法
• 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进 而完全确定接收场。
2
3
5
A1 2
2 A1
cos 2
fx
2 A1
3
cos 6
fx
2 A1
5
cos10
fx Lx
sin n
fn
n
d
z
非周期性函数的傅立叶展开
• 非周期性函数t(x)定义域为(-L/2,L/2) • 将(-L/2,L/2)间的函数复制，则成为周期函数 • 对复制后的函数，可以作傅立叶展开
t(x)
x
L
0L
cos(2f x 不0用)做积1分2 就{e有x3p项[，i(主2要f特x性就有0了)]！！exp[i(2f x 0 )]}
U~2
(x)
A1t0
1 2
A1t1exp[i(2fx
0
)]
1 2
A1t1
exp[i(2f
x
0
)]
U~2 (x) U~0 (x) U~1(x) U~1(x) 透射波实际上变为三列波
sin n a
d
n a
i 2 nx
ed
如果 d 2a 平面波入射
U%2 (x)
U%1(x)t(x)
d a A1 d
(1
n0
sin n fa ei2nfx ) n fa
A1 2
(1
n0
sin n
2
n
ei2 nfx )
2
A1 A1 (ei2 fx ei2 fx ) A1 (ei6 fx ei6 fx ) A1 (ei10 fx ei10 fx ) L
F F 1 s s
Gauss 公式
棱镜的相位变换函数（透过率函数）
• 薄的楔形棱镜，可以得到
P (x,
y)
2
(
nd )
2
(
nd0
n)
0
2
(n
1)
x d0 棱镜中心处的厚度
P (x, y) k (n 1)x
~tP (x, y) exp[ ik(n 1)(1x 2 y)] 二维情况下
d d n0 n
其中，n
n a
d
x
rk
n
z
0级波
n级波
平面波，相位 k r
2
x sin
2
fn x
n级波的方向
sin n
fn
n
d
d sinn n 光栅方程
n
n a
d
a sinn
un
a d
sin n n
a d
sin un un
U (n )
单缝衍射因子
t(x)
a d
a d
n0
e 2F
A1
eik
x2 y 2F
2
i0
汇聚到轴上F处的球面波
F
焦距 f＝F
U% A eik ( xsin1 y sin2 )
1
1
U% A eik
[
x2 y2 2F
(
x
sin1
y
sin2
)]
2
1
ik[ x2 y2 xF sin1 yF sin2 ]
A1 e 2F
F
汇聚到轴上F(sinθ1,sinθ2,1)处的
7.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析
1．空间频率的概念 在空间上也可以定义周期和频率，空间
周期d的倒数就是空间频率，即有f =1/d。f 称为空间频率。 2．正弦光栅的傅立叶变换
~t (x) t0 t1 cos(2fx 0 )
平行光正入射 U~1 (x) A1 U~2 (x) U~1(x)~t (x) A1[t0 t1 cos(2fx 0 )]
2 sin( fna) fnd
a d
2sin n a
d
n a
d
t(x) t0
a
n1 n
cos 2
fnx
b
n1 n
sin
2
fnx
a a dd
n1
2sin n a
d
n a
cos
2
fn x
a d
a d
n a
2 sin
d
e e i2 fnx
i 2 fnx
n1 n a
2
d
d
a a sin n ei2 fnx
• 波在衍射屏的前后表面处的复振幅或波前函 数分别称为入射场、透射场（或反射场）， 接收屏上的复振幅为接收场。
衍射屏(x, y) 照明空间
衍射空间
接收屏(x, y)
U~1 (x, y) 入射场
z
U~2 (x, y)
透射或反射场
U%1(x, y) U%2 (x, y) 入射场 衍射场
U%(x, y) 接收场
an2 bn2 ei(2 fnxn )
n1
2
22
a b e n
n i(2 fnxn )
n1
2
t0 n0
2
2
a b e n
n i(2 fn xn )
2
t0 t%nei2 fnx
n0
t%n
cn 2
ein
an
ibn 2
一维周期性衍射屏的傅里叶展开
x
a
d
x0
t
(
x)
t
(
x
d
)
1, x0 0, x0
• 傍轴近似，入射波前、出射波前取平面
• 透镜中光波平行于光轴
1
2
d
Q
Q
r1
r2
n
d0
1 x2 y2 2
与空气比较，图中任意位置
从图上可以求得光波经透镜后的相位差
r1
d
r1
r2
L
(x,
y)
2
[1
2
nd ( x,
y)]
n
d0
r1
0
2
nd0
2
0
[1 2 n(d
2
(n
1)(1
0 1 2)
第七章 傅立叶变换光学与全息照相
衍射系统的屏函数 夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析
阿贝成像原理 相衬显微镜 全息照相
变换光学
• 处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究 光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。
• 可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场， 遇到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。 衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射 场。
位相延迟
• 以原点相位为0，xoy平面上点（x，y）的位
相因子
Q (x0 , y0 )
(x, y)
x2 exp[ik (
y2
xx0
yy0
)]
2z
z
r0 o z z
• 以物点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相