补高等数学： 矢量（向量）代数 （同济大学《高等数学》第五版 第7章第一、二节） 一、矢量（向量）的概念及其表示 1.标量与矢量（向量）
算术量（质量、时间间隔、动能……）
标量 代数量：有大小和正负（温度、时刻、电流、 功、势能…… ） 矢量： 既有大小又有方向（力、速度、加速度、 力矩、动量…… ）
所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。
（5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反）
3.矢量的模： a 或a 恒为正
r0 ，仅用来表示方向。 4.单位矢量： 所以： r r r0
注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的 单位矢量分别为 i , j , k




b a
c
即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量 的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。
6.矢量加减的坐标表示式
b bx i by j bz k
a ax i a y j az k
a b ax bx i a y by j az bz k



i j ay by k az bz



或
a b ax bx
5.矢量积（大小）的几何意义
以 a 、b 为邻边的平行四边形的面积。 b

a
作业：
﹡阅读《高等数学》P289—307 ﹡整理笔记或小结（点乘、叉乘对照）
复习：标量积和矢量积



五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘） 1.定义：如力矩：大小： M Fd Fr sin F 力矩是矢量，方向沿转轴， r 指向按 r F 的顺序，用 d 右（手）螺旋法则确定。 大小：M r F sin r , F 抽象出矢量积： M r F 方向见上 大小：c a b sin a , b 一般地： c a b 方向：垂直于 a 和b 所决定的平面，
若P点为原点，则x=y=z=0
6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向 r r x2 y2 z2 大小：矢径的大小：
一般地： a a
2 ax a 2 y
a z2
方向：方向角、、或方向余弦：
ax cos a
ay cos a
az cos a
（2）分配律： a a a a b a b
a a 模（大小）：


3.矢量与数量相乘的坐标表示式 a a x i a y j a z k a x i a y j a z k
3.满足或不满足的运算规律
a a 0 sin 0或 sin 0


（3）满足如下的结合律： a b a b a b



4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法 a b a x i a y j a z k bx i by j bz k 0 a x by k a x bz j a y bx k 0 a y bz i a z bx j a z by i 0 a y bz a z by i a z bx a x bz j a x by a y bx k
7.已知矢量的模和方向角（或方向 余弦）求矢量的分量
ax a cos , ay a cos , az a cos
注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦 可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。
二、矢量的加减法
1.矢量相加的平行四边形法则（见图7-3） 2.矢量相加的三角形法则（见图7-2）

2.两个推论： 注意；“点”不能掉！ 2 a a a a cos 0 a （ 1）
（2）若两非零矢量 a b ，则 a b 0 cos 0
i i 1 j j k 、数量积、点积、点乘）
1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：
A Fs cos F s cos F , s f s

θ
一般地：a b a b cos a, b a Pr jab b Pr jb a
三、矢量与数量的乘法
a 1.定义：
a方向与a 相同 ） 方向 当λ >0时（可视为 a 当λ <0时（可视为 ） 方向与 a 相反 2. 满足的运算规律
（1）与另一个数量相乘的结合律： a a a
（2）导数的意义：函数随自变量的变化率。
二、常用的导数公式：
1C 0C为常数 2 x

yx yx0 dy y yx lim lim x 0 dx x x x0 x x0
x 3a a ln a 4 e e ln e log
2.矢量的表示 长度是矢量的大小 AB （1）图示：有（方）向线段： 箭头方向是矢量的方向
B A
（ 1）
（2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或 a, b
（3）
（4）
（5）
（3）矢量的平行：a // b（箭头指向可相同或相反） （4）矢量的相等： a b ——大小、方向（含指向）都相同

标量积满足交换律： a b b a
矢量积不满足交换律， 而是： b a a b
b
a
a
b
微积分
（《高等数学》第二章第一、二、三、五节； 第四章第一、五节；第五章第一、二节 ） 第一节 导数与微分 t0 一、导数的概念 0 s 实例：直线运动的速度 直线取为s轴，则质点在任一时刻t 的位置s （即动点 的坐标）是时间t 的函数，记为： s f t 或s st 则有 s vt,即f t vt或st vt 对匀加速直线运动：若设 t 0时, s 0，v v0
1 x x x x

e
e 1
1 5ln x x 6 sin x cos x 7 cos x sin x

三、函数的和、差、积、商的导数
设u u x , v vx 都可导，则 1 . u v u v 2 . Cu C uC为常数即常数可提到导数符号 外 3 . uv uv uv u uv uv 4. 2 v v
标量积： a b a b cos a, b a b cos

矢量积：
大小： c a b sin a , b c a b 方向：垂直于 a和b 所决定的平面， 指向按 a b 的顺序，用右（手）螺旋 法则确定。
i j 0 j k k i
反之，若 a b 0，则必有 a b

2

3.标量积满足的运算规律 （1）交换律： a b b a a b cos a, b
（2）分配律： a b c a c b c
r0
r
k i
j
5.矢量的坐标分解式（分量式） 矢径（向径：从原点出发的矢量） r xi y j zk 一般地： 所以，矢径或其末端的点P都可以 a ax i a y j az k 用三个坐标（x，y，z）来表示. 其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴 上的分量或投影。而 ax i , a y j , az k 则称分矢量（分向量） 注意：分量是代数量（可正可负）！
3.多个矢量相加的多边形法则（见图7-5）
4.矢量的加法所满足的运算规律 （1）交换律：a b b a （2）结合律： a b c a b c 5.矢量的减法 因为：c b a b a c 由矢量相加的三角形法则可得：
由 r xi y j zk 或 P（x，y，z）可知：
r 若P点（或矢径 ）在YOZ平面上，则 x=0； 若P点（或矢径 r ）在ZOX平面上，则 y=0； 若P点（或矢径 r ）在XOY平面上，则 z=0。 若P点（或矢径 r ）在 x 轴上，则 y=z=0； r 若P点（或矢径 ）在 y 轴上，则 x=z=0； 若P点（或矢径 r ）在 z 轴上，则 x=y=0。
1 2 1 2 则有 s v0t at , 即f t 或st v0t at 2 2
如匀速直线运动：若设 t 0时, s 0
下面求某一时刻t0的（瞬时）速度 匀速运动：瞬时速度等于平均速度
s s0 st st0 s vv t t0 t t0 t
t0
0
t0 s0
t
s
s s0 s v 非匀速运动： t0到t 时间段的平均速度： t t0 t st st0 s ds v lim lim t t0 t 0 t t t0 dt
欲求t0的瞬时速度，可令t接近于t0， 则此时平均速度的极限值就是t0时刻的瞬时速度。即 称为 s 对 t 的导数




（3）满足一定条件下的结合律（略） 4.标量积的坐标（分量）表示式
a b a x i a y j a z k bx i by j bz k a xbx i i a xby i j a xbz i k a y bx j i a y by j j a y bz j k a z bx k i a z by k j a z bz k k a xbx a y by a z bz