如图1方波：有图2频谱图
4A 1 1 f (t ) (sin 1t sin 3 1t sin 5 1t ) π 3 5
4A π 1 π cos( t ) cos( 3 t ) 1 1 π 2 3 2
图1
图2
信号与系统
因
T (t )
jn1t

则
1 Fn T

T 2 T 2
(t ) e
1 dt T
所以
1 T (t ) T
n
e

jn1t
图6
即T( t )是无穷多个复指数的累加和。
end
信号与系统
3.3
周期信号的频谱
3.2-14
一、频谱图
取直流到11次谐波 合成
取到37次谐波 合成
信号与系统
3.2-10
二、周期信号的复指数表示
设 由于
e jx e jx cos x 2
f (t ) a 0 A1 cos 1t A2 cos 21t A3 cos 31t
则
f (t ) a 0
a0
n
由
2 An an jbn T

T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
所以
An 1 Fn 2 T

T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
信号与系统
3.2-12
例 解
对于周期方波，试求其指数表示式。
1 Fn T

T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
图1 选频原理
end
信号与系统
3.2-2
3.2 周期信号的分解与合成
一、周期信号分解为三角级数
f (t ) a 0 ( a n cos n 1t bn sin n 1t )
a 0 An cos( n 1t n )
n 1

n 1
1：基波角频率
a0：直流分量， an：余弦幅度， bn：正弦幅度，
图2
所以f( t )的傅里叶级数为
4A 1 1 f (t ) (sin 1t sin 3 1t sin 5 1t ) π 3 5
信号与系统
3.2-6
周期方波的分解与合成 ：
图3
信号与系统
3.2-7
周期三角波的分解与合成 ：
图4
动画5：谐波分解
信号与系统
3.2-8
周期矩形脉冲和锯齿波的傅氏级数表示
信号与系统
3.1 应用引例
电子音乐信号的合成与选择
3.2-1
我国于1970年4月24日发射的“东方红一号”人造卫星向地球发回的电 子音乐信号由 9个不同频率的音节组成。这些信号是被调制到20.009 MHz 的载波频率fa上向地球发射的，合理地选择谐振电路的通频带，就可以选出 音乐信号。图1为其原理图。
A1 j1t A (e e j1t ) 2 (e j21t e j21t ) 2 2
n


An jn1t e ， 2
n 1, 2, 3
信号与系统
3.2-11
令
F0 a0， Fn
An 2
，则
jn1t F e n
f (t )
2π ( ) T
An：谐波幅度，
非正弦周期信号 1 T a 0 f (t ) d t T 0 2 T a n f (t ) cos n 1tdt T 0 2 T bn f (t ) sin n 1tdt T 0 2 An a n bn2
信号与系统
3.2-3
图 1 锯齿波的三角级数合成
3.4
非周期信号的频谱
3.2-15
一、傅里叶变换
周期信号：
1 Fn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
f (t )
n
jn1t F e n

从而有
F ( n1 ) Fn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
信号与系统
3.2-16
当T，1d， n1，故
F ( ) f (t )e jt dt

f( t )的傅氏变换 （频谱函数）
反之
1 j t f (t ) F ( ) e d 2π
傅氏反变换
变换对简记： f( t ) F( )
信号与系统
f (t )
1
T
0.5
0.5
T
t
2 1 n1 f ( t ) sin( ) cos( n1t ) T n 1 n 2
f t
1
O
T
t
1 1 1 f ( t ) sin( n1t ) 2 n 1 n
信号与系统
3.2-9
方波脉冲中取到5次谐波合成
3.2-17
二、常用信号的频谱函数

门函数：
1 t t
sin(

G (t )
F ( )
2 2
0

2
) 2 Sa ( ) e j t d t 2 ( ) 2
2
图1
信号与系统
3.2-18

冲激函数( t )：
F ( ) (t )e jt dt 1
( n 1,3,5 )
2 T 2A jn1t 2 Ae dt 0 T jn
图5
F0 a 0 0
所以
f (t )
n


2A jn1t e jn
( n 1,3,5 )
信号与系统
3.2-13
例
解
设有周期冲激信号T( t )，求其指数表示式。
信号与系统
3.2-4
图2
4种非正弦周期信号的分解
信号与系统
3.2-5
例 解
如图所示的周期方波，试求其傅里叶级数。 由于这里f( t )是奇函数，故有
1 T a0 f (t ) d t 0 T 0 T 2 2 an T f ( t ) cos n1tdt 0 T 2 T T 2 2 4 2 bn T f (t ) sin n1tdt A sin n1tdt T 2 T 0 4A T ( n 1, 3, 5, ) 4 A cos n1t 2 nπ T n1 0 0 ( n 2, 4, 6,)